Déterminer un inverse de $$a$$ modulo $$n$$ lorsque $$a$$ et $$n$$ sont premiers entre eux - Exercice 1

Il est évident tout d'abord que $${\color{red}{9}}$$ et $${\color{blue}{16}}$$ sont premiers entre eux car $$\text{PGCD}\left(16;9\right)=1$$
Maintenant, nous cherchons une valeur de $$b$$ tel que : $${\color{red}{9}}b\equiv 1\left[{\color{blue}{16}}\right]$$
Autrement dit, $$9b=16k+1$$ que l'on peut écrire $$9b-16k=1$$ où $$b$$ et $$k$$ sont des entiers.
Il nous faut donc trouver $$\blue{\text{une solution particulière}}$$ de l'équation diophantienne $$9b-16k=1$$ . Nous allons ici donner directement le résultat.
$$\red{\text{N'hésitez pas à reprendre la fiche d'exercices}}$$ $$\purple{\text{déterminer une solution de l'équation}}$$ $$\purple{au+bv=1}$$ $$\red{\text{pour avoir la rédaction type}}$$.
Nous obtenons alors :
$$9\times \left({\color{green}{-7}}\right)-16\times\left(-4\right)=1$$ . Cela signifie que $${\color{green}{b=-7}}$$ .
Car : $$9\times \left({\color{green}{-7}}\right)=1+16\times\left(-4\right)$$
D'où:
Il en résulte donc que $$9$$ est inversible modulo $$16$$ .

$$9x\equiv 5\left[16\right]$$ équivaut successivement à :
$$9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv 5\times \left(\purple{-7}\right)\left[16\right]$$
$$9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv -35\left[16\right]$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$9\times \left(-7\right)\equiv 1\left[16\right]$$. Nous pouvons donc écrire que :
$$x\equiv -35\left[16\right]$$
De plus : $$-35+3\times16=13$$
Ainsi :
$$x\equiv -35\left[16\right]\Rightarrow$$
Les solutions de l’équation $$9x\equiv 5\left[16\right]$$ sont alors les entiers de la forme $$x=13+16k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ .

$$9x\equiv 11\left[16\right]$$ équivaut successivement à :
$$9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv 11\times \left(\purple{-7}\right)\left[16\right]$$
$$9x\times \left(\purple{-7}\right)\equiv -77\left[16\right]$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que $$9\times \left(-7\right)\equiv 1\left[16\right]$$. Nous pouvons donc écrire que :
$$x\equiv -77\left[16\right]$$
De plus : $$-77+5\times16=3$$
Ainsi :
$$x\equiv -77\left[16\right]\Rightarrow$$
Les solutions de l’équation $$9x\equiv 11\left[16\right]$$ sont alors les entiers de la forme $$x=3+16k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ .