Démontrer les théorèmes de Bézout et de Gauss - Exercice 1

Prenons $$u=1$$ et $$v=0$$ : $$a\times 1+b\times 0=a$$.
Comme $$a$$ est un entier naturel non nul, $$a$$ appartient à $$E$$ : l'ensemble $$E$$ n'est donc pas vide.
Or toute partie non vide de $$\mathbb{N}$$ admet un plus petit élément.
Il en résulte donc que $$E$$ admet un plus petit élément $$\red{d}$$, et qu'il existe deux entiers relatifs $$u_{0}$$ et $$v_{0}$$ tels que :

La division euclidienne de $$\red{a}$$ par $$\blue{d}$$ s'écrit : $$\red{a}=\blue{d}\times\purple{q}+\pink{r}$$ avec $$0\le \pink{r}\lt \blue{d}$$.
Ainsi :
$$\pink{r}=a-dq$$
$$\pink{r}=a-\left(au_{0}+bv_{0}\right)q$$
$$\pink{r}=a\left(1-qu_{0}\right)+b\left(-qv_{0}\right)$$
Le reste $$\pink{r}$$ s'écrit donc sous la forme $$au+bv$$ avec $$u=1-qu_{0}$$ et $$v=-qv_{0}$$, qui sont des entiers relatifs.
Raisonnons par l'absurde : si $$\pink{r}$$ n'était pas nul, ce serait un élément de $$E$$ strictement plus petit que $$d$$, ce qui contredit le fait que $$d$$ est le plus petit élément de $$E$$.
Il en résulte donc que $$\pink{r=0}$$, c'est-à-dire $$a=dq$$ :
En effectuant la division euclidienne de $$b$$ par $$d$$, on démontre exactement de la même façon que $$d$$ divise $$b$$.

Soit $$c$$ un diviseur commun à $$a$$ et $$b$$. Alors $$c$$ divise toute combinaison linéaire de $$a$$ et $$b$$, donc $$c$$ divise $$au_{0}+bv_{0}=d$$.
$$\text{D'une part :}$$ d'après la question $$2$$, $$d$$ est un diviseur commun à $$a$$ et $$b$$.
$$\text{D'autre part :}$$ tout diviseur commun $$c$$ divise $$d$$, donc $$\left|c\right|\le d$$ (car $$d\gt 0$$).
$$d$$ est donc le plus grand des diviseurs communs à $$a$$ et $$b$$.
Finalement :

Supposons que $$a$$ et $$b$$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire $$\text{PGCD}\left(a;b\right)=1$$.
D'après la question $$3$$, il existe deux entiers relatifs $$u_{0}$$ et $$v_{0}$$ tels que $$au_{0}+bv_{0}=\text{PGCD}\left(a;b\right)=1$$.
Réciproquement, supposons qu'il existe deux entiers relatifs $$u$$ et $$v$$ tels que $$au+bv=1$$.
Tout diviseur commun à $$a$$ et $$b$$ divise $$au+bv$$, donc divise $$1$$. Le seul diviseur positif de $$1$$ est $$1$$, donc $$\text{PGCD}\left(a;b\right)=1$$ : $$a$$ et $$b$$ sont premiers entre eux.
Il en résulte donc que :