Calculs avec les PGCD un peu plus compliqués - Exercice 3

Comme $$\text{PGCD}\left(117;x\right)=13$$ cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$13$$ ou encore que $$\left(13{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$13$$ divise $$x$$ .
On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=13k}$$ .
De plus, nous savons que $$500< x<600$$ ce qui permet de dire que $$500< \red{13k}<600$$
Or $$\frac{500}{13}\approx 38,46$$ et $$\frac{600}{13}\approx 46,15$$ donc $$39\le k\le 46$$ ( n'oubliez pas que $$k\in \mathbb{N}$$ )
Il en résulte donc que :
$$\text{PGCD}\left(117;x\right)=13$$
$$\text{PGCD}\left(117;\red{13k}\right)=13$$
$$\text{PGCD}\left(\blue{13}\times 9;\blue{13}\times k\right)=13$$
$$\blue{13}\times\text{PGCD}\left( 9;k\right)=13$$
$$\text{PGCD}\left( 9;k\right)=1$$
Il faut chercher dans la liste des entiers entre $$39$$ et $$46$$ ceux qui sont premiers avec $$9$$ .
Les valeurs possibles de $$k$$ sont : $$k=\left\{40;41;43;44;46\right\}$$
Enfin les entiers naturels $$\red{x=13k}$$ tels que $$500< x<600$$ et $$\text{PGCD}\left(117;x\right)=13$$ sont :