Calculs avec les PGCD un peu plus compliqués - Exercice 1

Comme $$\text{PGCD}\left(n;180\right)=30$$ cela signifie que $$n$$ est un multiple de $$30$$ ou encore que $$\left(30{\rm }|n\right)$$ qui se lit $$30$$ divise $$n$$ .
On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{n=30k}$$ .
De plus, nous savons que $$n \le 600$$ ce qui permet de dire que $$\red{30k} \le 600$$ ainsi $$k \le 20$$.
Il en résulte donc que :
$$\text{PGCD}\left(n;180\right)=30$$
$$\text{PGCD}\left(\red{30k};180\right)=30$$
$$\text{PGCD}\left(\blue{30}\times k;\blue{30}\times6\right)=30$$
$$\blue{30}\times\text{PGCD}\left( k;6\right)=30$$
$$\text{PGCD}\left( k;6\right)=1$$
Il faut chercher dans la liste des entiers entre $$1$$ et $$20$$ ceux qui sont premiers avec $$6$$ .
Les valeurs possibles de $$k$$ sont : $$k=\left\{1;5;7;11;13;17;19\right\}$$
Enfin les entiers naturels $$\red{n=30k}$$ inférieurs à $$600$$ tels que $$\text{PGCD}\left(n;180\right)=30$$ sont :