Notons
D=PGCD(2n+5;3n+6)D divise
2n+5 et
D divise
3n+6 donc
D divise toute combinaison linéaire de
2n+5 et
3n+6 . Ainsi
D divise
(3×(2n+5)+(−2)×(3n+6)) . Ici, nous avons construit une
combinaison lineˊaire indeˊpendante de n D divise
(6n+15−6n−12) D divise
3Il en résulte donc que
D=1 ou
D=3 .
Nous allons dresser la table des restes modulo
3 .
Le seul cas possible afin que
2n+5 et
3n+6 soient des multiples de
3 est
n=2+3k avec
k∈NAinsi :
Si n est congru à 2 modulo 3 alors 2n+5 et 3n+6 sont donc divisibles par 3 et leur PGCD est égal à 3. Nous pouvons aussi écrire si n=2+3k alors PGCD(2n+5;3n+6)=3 Sinon 2n+5 et 3n+6 ne sont pas divisibles par 3 et leur PGCD est égal à 1. Nous pouvons aussi écrire si n=2+3k alors PGCD(2n+5;3n+6)=1