Appliquer le théorème de Gauss - Exercice 1

Comme $$2\left(x-5\right)=3y$$ alors $$\red{3}$$ divise $$\purple{2}\left(\blue{x-5}\right)$$ .
Or $$\text{PCGD}\left(3;2\right)=1$$ donc $$\red{3}$$ et $$\purple{2}$$ sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss, $$\red{3}$$ divise $$\left(\blue{x-5}\right)$$.
On peut donc écrire que $$x-5=3k$$ où $$k\in \mathbb{Z}$$ ainsi $$x=3k+5$$ .
Il nous suffit maintenant de remplacer $$x$$ par $$x=3k+5$$ dans l'équation : $$2\left(x-5\right)=3y$$
Cela donne :
$$2\left(3k+5-5\right)=3y$$
$$2\times 3k=3y$$ . On simplifie par $$3$$ .
$$2k=y$$
Les solutions s'écrivent alors :

Comme $$9\left(x+4\right)=7y$$ alors $$\red{7}$$ divise $$\purple{9}\left(\blue{x+4}\right)$$ .
Or $$\text{PCGD}\left(9;7\right)=1$$ donc $$\red{7}$$ et $$\purple{9}$$ sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss, $$\red{7}$$ divise $$\left(\blue{x+4}\right)$$.
On peut donc écrire que $$x+4=7k$$ où $$k\in \mathbb{Z}$$ ainsi $$x=7k-4$$ .
Il nous suffit maintenant de remplacer $$x$$ par $$x=7k-4$$ dans l'équation : $$9\left(x+4\right)=7y$$
Cela donne :
$$9\left(7k-4+4\right)=7y$$
$$9\times 7k=7y$$
$$9k=y$$
Les solutions s'écrivent alors :