Nombres complexes et géométrie sous formes de problèmes - Exercice 4

Soit $$z_{D}$$ l'affixe du point recherché. Pour que $$ABDC$$ soit un parallélogramme, il faut que $$z_{\overrightarrow{AC} } =z_{\overrightarrow{BD} }$$
Calculons d'une part
$$z_{\overrightarrow{AC} } =z_{C} -z_{A}$$ équivaut successivement à
$$z_{\overrightarrow{AC} } =2-4i-\left(-2\right)$$

Calculons d'autre part
$$z_{\overrightarrow{BD} } =z_{D} -z_{B}$$ équivaut successivement à
$$z_{\overrightarrow{BD} } =z_{D} -\left(2+4i\right)$$

Comme $$z_{\overrightarrow{AC} } =z_{\overrightarrow{BD} }$$ alors résolvons l'équation suivante
$$4-4i=z_{D} -2-4i$$ d'où
Il vient alors que l'affixe du point $$D$$ doit être égale $$z_{D} =6$$ afin que $$ABDC$$ soit un parallélogramme.

On sait maintenant que $$ABDC$$ est un parallélogramme.
Pour que $$ABDC$$ soit un carré, montrons que deux cotés consécutifs sont égaux et qu'il y a un angle droit.
Calculons dans ce cas $$\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} }$$et donnons son module et son argument.
Comme $$\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } =\frac{2+4i-\left(-2\right)}{2-4i-\left(-2\right)}$$ alors $$\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } =i$$
Nous pouvons en déduire deux choses.
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$\left|\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } \right|=\left|i\right|$$ donc $$\frac{\left|z_{B} -z_{A} \right|}{\left|z_{C} -z_{A} \right|} =1$$
Ainsi $$\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{C} -z_{A} \right|$$ d'où
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$i$$ est un imaginaire pur dont la partie imaginaire $$1$$ est positive , donc d'après le rappel, on a :
$$\arg \left(\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } \right)=\arg \left(i\right)$$ ainsi $$\arg \left(\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Finalement $$\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
L'angle $$\widehat{A}$$ est un angle droit.
Finalement $$ABDC$$ est un carré.