Nombres complexes et géométrie sous formes de problèmes - Exercice 3

$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{-4-\left(-1-i\sqrt{3} \right)}{-1+i\sqrt{3} -\left(-1-i\sqrt{3} \right)}$$ équivaut successivement à
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{-3+i\sqrt{3} }{2i\sqrt{3} }$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{\left(-3+i\sqrt{3} \right)\left(-2i\sqrt{3} \right)}{\left(2i\sqrt{3} \right)\left(-2i\sqrt{3} \right)}$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{6i\sqrt{3} -2i^{2} \sqrt{3} \times \sqrt{3} }{\left(2\sqrt{3} \right)^{2} }$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{6i\sqrt{3} +2\times 3}{12}$$
$$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{6i\sqrt{3} +6}{12}$$

Une fois que l'on a la forme algébrique de $$\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} }$$, on va donner son module et son argument.
$$\left|\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right|=\left|\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right|$$ équivaut successivement à
$$\left|\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} }$$

Pour l'argument $$\theta$$ on sait que $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(\frac{1}{2} \right)}{1} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)}{1} } \end{array}\right.$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]$$ ou encore $$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$\left|\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right|=1$$ équivaut successivement à
$$\frac{\left|z_{A} -z_{C} \right|}{\left|z_{B} -z_{C} \right|} =1$$
$$\left|z_{A} -z_{C} \right|=\left|z_{B} -z_{C} \right|$$
Ainsi
Le triangle est donc isocèle en $$C$$.
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$\arg \left(\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right)=\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]$$, ainsi $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]$$
Cela signifie que l'angle $$\widehat{C}=\frac{\pi }{3}$$
Nous avons donc un triangle isocèle en $$C$$ dont l'angle $$\widehat{C}=\frac{\pi }{3}$$, on en déduit que le triangle et alors équilatéral car les angles à la base dans un triangle isocèle sont égaux.