Nombres complexes et géométrie sous formes de problèmes - Exercice 2

$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{3i-\left(-1+2i\right)}{4-3i-\left(-1+2i\right)}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{3i+1-2i}{4-3i+1-2i}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{1+i}{5-5i}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{\left(1+i\right)\left(5+5i\right)}{\left(5-5i\right)\left(5+5i\right)}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{5+5i+5i+5i^{2} }{5^{2} +5^{2} }$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{5+5i+5i-5}{50}$$
$$\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{10i}{50}$$
Ainsi :

$$\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{3i-\left(4+3i\right)}{4-3i-\left(4+3i\right)}$$ équivaut successivement à :
$$\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{3i-4-3i}{4-3i-4-3i}$$
$$\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{-4}{-6i}$$
d'où :

$$\purple{\text{Premièrement :}}$$
$$\frac{1}{5} i$$ est un imaginaire pur dont la partie imaginaire $$\frac{1}{5}$$ est positive , donc d'après le rappel, on a :
$$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } \right)=\arg \left(\frac{1}{5} i\right)$$ ainsi $$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Finalement $$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Le triangle $$ACD$$ est donc rectangle en $$A$$.
$$\purple{\text{Deuxièmement :}}$$$$-\frac{2}{3} i$$ est un imaginaire pur dont la partie imaginaire $$-\frac{2}{3}$$ est négative, donc d'après le rappel, on a :
$$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } \right)=\arg \left(-\frac{2}{3} i\right)$$ ainsi $$\arg \left(\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } \right)=-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$ .
Finalement $$\left(\overrightarrow{BD} ;\overrightarrow{BC} \right)=-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
Le triangle $$BCD$$ est donc rectangle en $$B$$.