Nombres complexes : point de vue géométrique

Nombres complexes et géométrie sous formes de problèmes - Exercice 2

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}     \;\;3°)  Raisonner.{\color{red}3°)\;Raisonner.}
Question 1
On considère les points A,B,CA,B, C et DD d'affixes respectifs zA=−1+2iz_{A} =-1+2i, zB=4+3iz_{B} =4+3i, zC=3iz_{C} =3i et zD=4−3iz_{D} =4-3i

Calculer zC−zAzD−zA\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } .

Correction
zC−zAzD−zA=3i−(−1+2i)4−3i−(−1+2i)\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{3i-\left(-1+2i\right)}{4-3i-\left(-1+2i\right)} équivaut successivement à :
zC−zAzD−zA=3i+1−2i4−3i+1−2i\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{3i+1-2i}{4-3i+1-2i}
zC−zAzD−zA=1+i5−5i\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{1+i}{5-5i}
zC−zAzD−zA=(1+i)(5+5i)(5−5i)(5+5i)\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{\left(1+i\right)\left(5+5i\right)}{\left(5-5i\right)\left(5+5i\right)}
zC−zAzD−zA=5+5i+5i+5i252+52\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{5+5i+5i+5i^{2} }{5^{2} +5^{2} }
zC−zAzD−zA=5+5i+5i−550\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{5+5i+5i-5}{50}
zC−zAzD−zA=10i50\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{10i}{50}
Ainsi :
zC−zAzD−zA=15i\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } =\frac{1}{5} i

Question 2

Calculer zC−zBzD−zB\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} }

Correction
zC−zBzD−zB=3i−(4+3i)4−3i−(4+3i)\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{3i-\left(4+3i\right)}{4-3i-\left(4+3i\right)} équivaut successivement à :
zC−zBzD−zB=3i−4−3i4−3i−4−3i\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{3i-4-3i}{4-3i-4-3i}
zC−zBzD−zB=−4−6i\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =\frac{-4}{-6i}
d'où :
zC−zBzD−zB=−23i\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } =-\frac{2}{3} i
Question 3

Quelle est la nature des triangles ACDACD et BCDBCD ?

Correction
z∈iR+⇔arg⁡(z)=π2[2π]z\in i\mathbb{R}^{+} \Leftrightarrow \arg \left(z\right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right] .
Autrement dit, si zz est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est positive alors l'argument de zz sera égale à π2[2π]\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Premieˋrement :\purple{\text{Premièrement :}}
15i\frac{1}{5} i est un imaginaire pur dont la partie imaginaire 15\frac{1}{5} est positive , donc d'après le rappel, on a :
arg⁡(zC−zAzD−zA)=arg⁡(15i)\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } \right)=\arg \left(\frac{1}{5} i\right) ainsi arg⁡(zC−zAzD−zA)=π2[2π]\arg \left(\frac{z_{C} -z_{A} }{z_{D} -z_{A} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Finalement (AD→;AC→)=π2[2π]\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Le triangle ACDACD est donc rectangle en AA.
Deuxieˋmement :\purple{\text{Deuxièmement :}}
z∈iR−⇔arg⁡(z)=−π2[2π]z\in i\mathbb{R}^{-} \Leftrightarrow \arg \left(z\right)=-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right] .
Autrement dit, si zz est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est négative alors l'argument de zz sera égale à −π2[2π]-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
−23i-\frac{2}{3} i est un imaginaire pur dont la partie imaginaire −23-\frac{2}{3} est négative, donc d'après le rappel, on a :
arg⁡(zC−zBzD−zB)=arg⁡(−23i)\arg \left(\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } \right)=\arg \left(-\frac{2}{3} i\right) ainsi arg⁡(zC−zBzD−zB)=−π2[2π]\arg \left(\frac{z_{C} -z_{B} }{z_{D} -z_{B} } \right)=-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right] .
Finalement (BD→;BC→)=−π2[2π]\left(\overrightarrow{BD} ;\overrightarrow{BC} \right)=-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Le triangle BCDBCD est donc rectangle en BB.