Nombres complexes : point de vue géométrique

Nombres complexes et géométrie sous formes de problèmes - Exercice 1

10 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}     \;\;3°)  Raisonner.{\color{red}3°)\;Raisonner.}
On considère les points A,BA,B et CC d'affixes respectifs zA=1−2iz_{A} =1-2i, zB=1+2iz_{B} =1+2i, zC=3z_{C} =3
Question 1

Calculer zA−zCzB−zC\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } .

Correction
zA−zCzB−zC=1−2i−31+2i−3\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{1-2i-3}{1+2i-3}
zA−zCzB−zC=−2−2i−2+2i\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{-2-2i}{-2+2i}
zA−zCzB−zC=(−2−2i)×(−2−2i)(−2+2i)×(−2−2i)\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{\left(-2-2i\right)\times \left(-2-2i\right)}{\left(-2+2i\right)\times \left(-2-2i\right)}
zA−zCzB−zC=4+4i+4i+4i222+22\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{4+4i+4i+4i^{2} }{2^{2} +2^{2} }
zA−zCzB−zC=4+4i+4i−48\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{4+4i+4i-4}{8}
zA−zCzB−zC=8i8\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =\frac{8i}{8}
Ainsi :
zA−zCzB−zC=i\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =i
Question 2

En déduire la nature du triangle ABCABC.

Correction
Comme zA−zCzB−zC=i\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } =i, nous pouvons en déduire deux choses.
 D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
∣zA−zCzB−zC∣=∣i∣\left|\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right|=\left|i\right|
donc ∣zA−zC∣∣zB−zC∣=1\frac{\left|z_{A} -z_{C} \right|}{\left|z_{B} -z_{C} \right|} =1
ainsi ∣zA−zC∣=∣zB−zC∣\left|z_{A} -z_{C} \right|=\left|z_{B} -z_{C} \right|
d'où AC=BCAC=BC
Le triangle ABCABC est donc isocèle en CC.
 D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
z∈iR+⇔arg⁡(z)=π2[2π]z\in i\mathbb{R}^{+} \Leftrightarrow \arg \left(z\right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right] .
Autrement dit, si zz est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est positive alors l'argument de zz sera égale à π2[2π]\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
i i est un imaginaire pur dont la partie imaginaire 11 est positive , donc d'après le rappel, on a :
arg⁡(zA−zCzB−zC)=arg⁡(i)\arg \left(\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right)=\arg \left(i\right) ainsi arg⁡(zA−zCzB−zC)=π2[2π]\arg \left(\frac{z_{A} -z_{C} }{z_{B} -z_{C} } \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Soient AA, BB et CC trois points d'affixe respective zAz_A, zBz_B et zCz_C tel que zC≠zAz_{C} \ne z_{A}
  • arg⁡(zB−zAzC−zA)=(AC→;AB→)\arg \left(\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } \right)=\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)
  • Si arg⁡(zB−zAzC−zA)=π2\arg \left(\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } \right)=\frac{\pi}{2} ou si arg⁡(zB−zAzC−zA)=−π2\arg \left(\frac{z_{B} -z_{A} }{z_{C} -z_{A} } \right)=-\frac{\pi}{2} alors ABCABC est un triangle rectangle en AA .
    • Soit (CB→;CA→)=π2[2π]\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
    Le triangle ABCABC est donc rectangle en CC.
    Finalement, le triangle ABCABC est un triangle rectangle isocèle en CC.