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Nombres complexes : point de vue géométrique
Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 3
10 min
25
Question 1
En utilisant les formules d'Euler, linéariser
sin
4
(
x
)
\sin ^{4} \left(x\right)
sin
4
(
x
)
.
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
exprimer
sin
4
(
x
)
\sin ^{4} \left(x\right)
sin
4
(
x
)
en fonction d'une somme de cosinus de la forme
cos
(
n
x
)
\cos\left(nx\right)
cos
(
n
x
)
où
n
∈
N
n\in \mathbb{N}
n
∈
N
Correction
Les formules d’Euler
\red{\text{Les formules d'Euler}}
Les formules d’Euler
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
x
)
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
et
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
x
)
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
Soit
a
{\color{red}{a}}
a
un réel. Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
a
x
)
=
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
2
\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
a
x
)
=
2
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
et
sin
(
a
x
)
=
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
2
i
\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
a
x
)
=
2
i
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
sin
4
(
x
)
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
4
\sin ^{4} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{4}
sin
4
(
x
)
=
(
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
)
4
sin
4
(
x
)
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
4
(
2
i
)
4
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4} }{\left(2i\right)^{4} }
sin
4
(
x
)
=
(
2
i
)
4
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
4
sin
4
(
x
)
=
1
16
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
4
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4}
sin
4
(
x
)
=
16
1
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
4
On va appliquer le binôme de newton :
Formule du bin
o
ˆ
me de Newton
\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Formule du bin
o
ˆ
me de Newton
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres complexes. Pour tout entier naturel
n
n
n
, on a :
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
(
a
+
b
)
n
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
(
4
0
)
×
(
e
i
x
)
0
×
(
−
e
−
i
x
)
4
+
(
4
1
)
×
(
e
i
x
)
1
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
1
+
(
4
2
)
×
(
e
i
x
)
2
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
2
+
(
4
3
)
×
(
e
i
x
)
3
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
3
+
(
4
4
)
×
(
e
i
x
)
4
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
4
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
(
4
0
)
×
(
e
i
x
)
0
×
(
−
e
−
i
x
)
4
+
(
4
1
)
×
(
e
i
x
)
1
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
1
+
(
4
2
)
×
(
e
i
x
)
2
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
2
+
(
4
3
)
×
(
e
i
x
)
3
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
3
+
(
4
4
)
×
(
e
i
x
)
4
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
4
)
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
1
×
(
e
i
x
)
0
×
(
−
e
−
i
x
)
4
+
4
×
(
e
i
x
)
1
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
1
+
6
×
(
e
i
x
)
2
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
2
+
4
×
(
e
i
x
)
3
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
3
+
1
×
(
e
i
x
)
4
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
4
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
1
×
(
e
i
x
)
0
×
(
−
e
−
i
x
)
4
+
4
×
(
e
i
x
)
1
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
1
+
6
×
(
e
i
x
)
2
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
2
+
4
×
(
e
i
x
)
3
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
3
+
1
×
(
e
i
x
)
4
×
(
−
e
−
i
x
)
4
−
4
)
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
1
×
1
×
(
−
e
−
i
x
)
4
+
4
×
(
e
i
x
)
1
×
(
−
e
−
i
x
)
3
+
6
×
(
e
i
x
)
2
×
(
−
e
−
i
x
)
2
+
4
×
(
e
i
x
)
3
×
(
−
e
−
i
x
)
1
+
1
×
(
e
i
x
)
4
×
(
−
e
−
i
x
)
0
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times 1\times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{3} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{1} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{0} \right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
1
×
1
×
(
−
e
−
i
x
)
4
+
4
×
(
e
i
x
)
1
×
(
−
e
−
i
x
)
3
+
6
×
(
e
i
x
)
2
×
(
−
e
−
i
x
)
2
+
4
×
(
e
i
x
)
3
×
(
−
e
−
i
x
)
1
+
1
×
(
e
i
x
)
4
×
(
−
e
−
i
x
)
0
)
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
e
−
4
i
x
−
4
e
i
x
×
e
−
3
i
x
+
6
×
e
i
2
x
×
e
−
2
i
x
−
4
×
e
3
i
x
×
e
−
i
x
+
1
×
e
−
4
i
x
×
1
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{ix} \times e^{-3ix} +6\times e^{i2x} \times e^{-2ix} -4\times e^{3ix} \times e^{-ix} +1\times e^{-4ix} \times 1\right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
e
−
4
i
x
−
4
e
i
x
×
e
−
3
i
x
+
6
×
e
i
2
x
×
e
−
2
i
x
−
4
×
e
3
i
x
×
e
−
i
x
+
1
×
e
−
4
i
x
×
1
)
cos
4
(
x
)
=
1
16
×
(
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
+
6
×
e
0
−
4
e
2
i
x
+
e
−
4
i
x
)
\cos ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6\times e^{0} -4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)
cos
4
(
x
)
=
16
1
×
(
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
+
6
×
e
0
−
4
e
2
i
x
+
e
−
4
i
x
)
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
+
6
−
4
e
2
i
x
+
e
−
4
i
x
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6-4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
+
6
−
4
e
2
i
x
+
e
−
4
i
x
)
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
−
4
e
2
i
x
+
6
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4e^{-2ix} -4e^{2ix} +6\right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
−
4
e
2
i
x
+
6
)
sin
4
(
x
)
=
1
16
×
(
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
4
(
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
)
+
6
)
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)+6\right)
sin
4
(
x
)
=
16
1
×
(
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
4
(
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
)
+
6
)
sin
4
(
x
)
=
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
16
−
4
(
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
)
16
+
6
16
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)}{16} +\frac{6}{16}
sin
4
(
x
)
=
16
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
16
4
(
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
)
+
16
6
sin
4
(
x
)
=
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
16
−
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
4
+
3
8
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{4} +\frac{3}{8}
sin
4
(
x
)
=
16
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
4
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
+
8
3
sin
4
(
x
)
=
1
8
×
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
2
−
1
2
×
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
2
+
3
8
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \times \frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{2} -\frac{1}{2} \times \frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{2} +\frac{3}{8}
sin
4
(
x
)
=
8
1
×
2
e
−
4
i
x
+
e
−
4
i
x
−
2
1
×
2
e
−
2
i
x
+
e
2
i
x
+
8
3
Soit :
sin
4
(
x
)
=
1
8
cos
(
4
x
)
−
1
2
cos
(
2
x
)
+
3
8
\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \cos \left(4x\right)-\frac{1}{2} \cos \left(2x\right)+\frac{3}{8}
sin
4
(
x
)
=
8
1
cos
(
4
x
)
−
2
1
cos
(
2
x
)
+
8
3