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Nombres complexes : point de vue géométrique
Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 2
8 min
20
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
C
a
l
c
u
l
e
r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
Question 1
Développer
(
a
+
b
)
3
\left(a+b\right)^{3}
(
a
+
b
)
3
Correction
Formule du bin
o
ˆ
me de Newton
\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Formule du bin
o
ˆ
me de Newton
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres complexes. Pour tout entier naturel
n
n
n
, on a :
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
(
a
+
b
)
n
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
(
a
+
b
)
3
=
∑
k
=
0
n
(
3
k
)
a
k
b
3
−
k
\left(a+b\right)^{3} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {3} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{3-k}
(
a
+
b
)
3
=
k
=
0
∑
n
(
3
k
)
a
k
b
3
−
k
équivaut successivement à :
(
a
+
b
)
3
=
(
3
0
)
a
0
b
3
−
0
+
(
3
1
)
a
1
b
3
−
1
+
(
3
2
)
a
2
b
3
−
2
+
(
3
2
)
a
3
b
3
−
3
\left(a+b\right)^{3} =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)a^{0} b^{3-0} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)a^{1} b^{3-1} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)a^{2} b^{3-2} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)a^{3} b^{3-3}
(
a
+
b
)
3
=
(
3
0
)
a
0
b
3
−
0
+
(
3
1
)
a
1
b
3
−
1
+
(
3
2
)
a
2
b
3
−
2
+
(
3
2
)
a
3
b
3
−
3
(
a
+
b
)
3
=
(
3
0
)
a
0
b
3
+
(
3
1
)
a
1
b
2
+
(
3
2
)
a
2
b
1
+
(
3
3
)
a
3
b
0
\left(a+b\right)^{3} =\red{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)}a^{0} b^{3} +\blue{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}a^{1} b^{2} +\pink{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}a^{2} b^{1} +\purple{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)}a^{3} b^{0}
(
a
+
b
)
3
=
(
3
0
)
a
0
b
3
+
(
3
1
)
a
1
b
2
+
(
3
2
)
a
2
b
1
+
(
3
3
)
a
3
b
0
(
a
+
b
)
3
=
1
×
a
0
×
b
3
+
3
×
a
1
×
b
2
+
3
×
a
2
×
b
1
+
1
×
a
3
×
b
0
\left(a+b\right)^{3} =\red{1}\times a^{0} \times b^{3} +\blue{3}\times a^{1} \times b^{2} +\pink{3}\times a^{2} \times b^{1} +\purple{1}\times a^{3} \times b^{0}
(
a
+
b
)
3
=
1
×
a
0
×
b
3
+
3
×
a
1
×
b
2
+
3
×
a
2
×
b
1
+
1
×
a
3
×
b
0
(
a
+
b
)
3
=
1
×
1
×
b
3
+
3
×
a
×
b
2
+
3
×
a
2
×
b
1
+
1
×
a
3
×
1
\left(a+b\right)^{3} =1\times 1\times b^{3} +3\times a\times b^{2} +3\times a^{2}\times b^{1} +1\times a^{3}\times 1
(
a
+
b
)
3
=
1
×
1
×
b
3
+
3
×
a
×
b
2
+
3
×
a
2
×
b
1
+
1
×
a
3
×
1
Ainsi :
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
b
2
+
3
a
2
b
+
b
3
\left(a+b\right)^{3} =a^{3} +3ab^{2} +3a^{2}b+b^{3}
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
b
2
+
3
a
2
b
+
b
3
Question 2
En utilisant les formules d'Euler, linéariser
cos
3
(
x
)
\cos ^{3} \left(x\right)
cos
3
(
x
)
.
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
exprimer
cos
3
(
x
)
\cos ^{3} \left(x\right)
cos
3
(
x
)
en fonction d'une somme de cosinus de la forme
cos
(
n
x
)
\cos\left(nx\right)
cos
(
n
x
)
où
n
∈
N
n\in \mathbb{N}
n
∈
N
Correction
Les formules d’Euler
\red{\text{Les formules d'Euler}}
Les formules d’Euler
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
x
)
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
et
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
x
)
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
Soit
a
{\color{red}{a}}
a
un réel. Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
a
x
)
=
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
2
\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
a
x
)
=
2
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
et
sin
(
a
x
)
=
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
2
i
\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
a
x
)
=
2
i
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
D'après la question précédente, on a montré que :
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
b
2
+
3
a
2
b
+
b
3
\left({\color{blue}{a}}+{\color{red}{b}}\right)^{3} ={\color{blue}{a}}^{3} +3{\color{blue}{a}}{\color{red}{b}}^{2} +3{\color{blue}{a}}^{2}{\color{red}{b}}+{\color{red}{b}}^{3}
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
b
2
+
3
a
2
b
+
b
3
cos
3
(
x
)
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
3
\cos ^{3} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{3}
cos
3
(
x
)
=
(
2
e
i
x
+
e
−
i
x
)
3
cos
3
(
x
)
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
3
2
3
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{3} }{2^{3} }
cos
3
(
x
)
=
2
3
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
3
cos
3
(
x
)
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
3
8
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{e^{ix}}} + {\color{red}{e^{-ix}}}\right)^{3} }{8}
cos
3
(
x
)
=
8
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
3
cos
3
(
x
)
=
(
e
i
x
)
3
+
3
(
e
i
x
)
2
e
−
i
x
+
3
e
i
x
(
e
−
i
x
)
2
+
(
e
−
i
x
)
3
8
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{e^{ix}}} \right)^{3} +3\left({\color{blue}{e^{ix}}} \right)^{2} {\color{red}{e^{-ix}}} +3{\color{blue}{e^{ix}}} \left({\color{red}{e^{-ix}}} \right)^{2} +\left({\color{red}{e^{-ix}}} \right)^{3} }{8}
cos
3
(
x
)
=
8
(
e
i
x
)
3
+
3
(
e
i
x
)
2
e
−
i
x
+
3
e
i
x
(
e
−
i
x
)
2
+
(
e
−
i
x
)
3
cos
3
(
x
)
=
e
3
i
x
+
3
e
2
i
x
e
−
i
x
+
3
e
i
x
e
−
2
i
x
+
(
e
−
i
x
)
3
8
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +3e^{2ix} e^{-ix} +3e^{ix} e^{-2ix} +\left(e^{-ix} \right)^{3} }{8}
cos
3
(
x
)
=
8
e
3
i
x
+
3
e
2
i
x
e
−
i
x
+
3
e
i
x
e
−
2
i
x
+
(
e
−
i
x
)
3
cos
3
(
x
)
=
e
3
i
x
+
3
e
2
i
x
−
x
+
3
e
i
x
−
2
x
+
e
−
3
i
x
8
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +3e^{2ix-x} +3e^{ix-2x} +e^{-3ix} }{8}
cos
3
(
x
)
=
8
e
3
i
x
+
3
e
2
i
x
−
x
+
3
e
i
x
−
2
x
+
e
−
3
i
x
cos
3
(
x
)
=
e
3
i
x
+
3
e
i
x
+
3
e
−
i
x
+
e
−
3
i
x
8
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +3e^{ix} +3e^{-ix} +e^{-3ix} }{8}
cos
3
(
x
)
=
8
e
3
i
x
+
3
e
i
x
+
3
e
−
i
x
+
e
−
3
i
x
cos
3
(
x
)
=
e
3
i
x
+
e
−
3
i
x
8
+
3
e
i
x
+
3
e
−
i
x
8
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{e^{3ix} +e^{-3ix} }{8} +\frac{3e^{ix} +3e^{-ix} }{8}
cos
3
(
x
)
=
8
e
3
i
x
+
e
−
3
i
x
+
8
3
e
i
x
+
3
e
−
i
x
cos
3
(
x
)
=
1
4
(
e
3
i
x
+
e
−
3
i
x
2
)
+
3
4
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{1}{4} \left(\frac{e^{3ix} +e^{-3ix} }{2} \right)+\frac{3}{4} \left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)
cos
3
(
x
)
=
4
1
(
2
e
3
i
x
+
e
−
3
i
x
)
+
4
3
(
2
e
i
x
+
e
−
i
x
)
Les formules d’Euler
\red{\text{Les formules d'Euler}}
Les formules d’Euler
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
x
)
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
et
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
x
)
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
Soit
a
{\color{red}{a}}
a
un réel. Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
a
x
)
=
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
2
\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
a
x
)
=
2
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
et
sin
(
a
x
)
=
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
2
i
\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
a
x
)
=
2
i
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
cos
3
(
x
)
=
1
4
cos
(
3
x
)
+
3
4
cos
(
x
)
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{1}{4} \cos \left(3x\right)+\frac{3}{4} \cos \left(x\right)
cos
3
(
x
)
=
4
1
cos
(
3
x
)
+
4
3
cos
(
x
)
Ainsi :
cos
3
(
x
)
=
1
4
cos
(
3
x
)
+
3
4
cos
(
x
)
\cos ^{3} \left(x\right)=\frac{1}{4} \cos \left(3x\right)+\frac{3}{4} \cos \left(x\right)
cos
3
(
x
)
=
4
1
cos
(
3
x
)
+
4
3
cos
(
x
)