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Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 1

10 min
15
COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

En utilisant les formules d'Euler, linéariser cos⁡2(x)\cos ^{2} \left(x\right) .
Cette question peut eˊgalement se formuler comme suit :\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
exprimer cos⁡2(x)\cos ^{2} \left(x\right) en fonction d'une somme de cosinus de la forme cos⁡(nx)\cos\left(nx\right) où n∈Nn\in \mathbb{N}

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • cos⁡2(x)=(eix+e−ix2)2\cos ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{2} équivaut successivement à :
    cos⁡2(x)=(eix+e−ix)222\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{2^{2} }
    cos⁡2(x)=(eix+e−ix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos⁡2(x)=(eix)2+2eixe−ix+(e−ix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} +2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2eix−ix+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2e0+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{0} +e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2+e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+e−2ix4+24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{4} +\frac{2}{4}
    cos⁡2(x)=12×(e2ix+e−2ix2)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    cos⁡2(x)=12cos⁡(2x)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}

    Question 2

    En utilisant les formules d'Euler, linéariser sin⁡2(x)\sin ^{2} \left(x\right) .
    Cette question peut eˊgalement se formuler comme suit :\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
    exprimer sin⁡2(x)\sin ^{2} \left(x\right) en fonction d'une somme de cosinus de la forme cos⁡(nx)\cos\left(nx\right) où n∈Nn\in \mathbb{N}

    Correction
      Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • sin⁡2(x)=(eix−e−ix2i)2\sin ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{2}
    sin⁡2(x)=(eix−e−ix)2(2i)2\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{\left(2i\right)^{2} }
    sin⁡2(x)=(eix−e−ix)2−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
    sin⁡2(x)=(eix)2−2eixe−ix+(e−ix)2−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} -2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix−2eix−ix+e−2ix−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix−2e0+e−2ix−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{0} +e^{-2ix} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix−2+e−2ix−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2+e^{-2ix} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix+e−2ix−4+(−2−4)\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} +\left(\frac{-2}{-4} \right)
    sin⁡2(x)=e2ix+e−2ix−4+12\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} +\frac{1}{2}
    sin⁡2(x)=−12×(e2ix+e−2ix2)+12\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{blue}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{blue}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    sin⁡2(x)=−12cos⁡(2x)+12\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \cos \left({\color{blue}{2x}}\right)+\frac{1}{2}

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