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Nombres complexes : point de vue géométrique

Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 1

10 min
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COMPETENCES  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

En utilisant les formules d'Euler, linéariser cos2(x)\cos ^{2} \left(x\right) .
Cette question peut eˊgalement se formuler comme suit :\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
exprimer cos2(x)\cos ^{2} \left(x\right) en fonction d'une somme de cosinus de la forme cos(nx)\cos\left(nx\right)nNn\in \mathbb{N}

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout xR{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos(x)=eix+eix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin(x)=eixeix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout xR{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos(ax)=eiax+eiax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin(ax)=eiaxeiax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • cos2(x)=(eix+eix2)2\cos ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{2} équivaut successivement à :
    cos2(x)=(eix+eix)222\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{2^{2} }
    cos2(x)=(eix+eix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos2(x)=(eix)2+2eixeix+(eix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} +2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos2(x)=e2ix+2eixix+e2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{4}
    cos2(x)=e2ix+2e0+e2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{0} +e^{-2ix} }{4}
    cos2(x)=e2ix+2+e2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2+e^{-2ix} }{4}
    cos2(x)=e2ix+e2ix4+24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{4} +\frac{2}{4}
    cos2(x)=12×(e2ix+e2ix2)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    cos2(x)=12cos(2x)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}

    Question 2

    En utilisant les formules d'Euler, linéariser sin2(x)\sin ^{2} \left(x\right) .
    Cette question peut eˊgalement se formuler comme suit :\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
    exprimer sin2(x)\sin ^{2} \left(x\right) en fonction d'une somme de cosinus de la forme cos(nx)\cos\left(nx\right)nNn\in \mathbb{N}

    Correction
      Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout xR{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos(x)=eix+eix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin(x)=eixeix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout xR{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos(ax)=eiax+eiax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin(ax)=eiaxeiax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • sin2(x)=(eixeix2i)2\sin ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{2}
    sin2(x)=(eixeix)2(2i)2\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{\left(2i\right)^{2} }
    sin2(x)=(eixeix)24\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
    sin2(x)=(eix)22eixeix+(eix)24\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} -2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
    sin2(x)=e2ix2eixix+e2ix4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{-4}
    sin2(x)=e2ix2e0+e2ix4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{0} +e^{-2ix} }{-4}
    sin2(x)=e2ix2+e2ix4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2+e^{-2ix} }{-4}
    sin2(x)=e2ix+e2ix4+(24)\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} +\left(\frac{-2}{-4} \right)
    sin2(x)=e2ix+e2ix4+12\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} +\frac{1}{2}
    sin2(x)=12×(e2ix+e2ix2)+12\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{blue}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{blue}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    sin2(x)=12cos(2x)+12\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \cos \left({\color{blue}{2x}}\right)+\frac{1}{2}