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Nombres complexes : point de vue géométrique
Les formules d'Euler et linéarisation - Exercice 1
10 min
15
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
C
a
l
c
u
l
e
r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
Question 1
En utilisant les formules d'Euler, linéariser
cos
2
(
x
)
\cos ^{2} \left(x\right)
cos
2
(
x
)
.
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
exprimer
cos
2
(
x
)
\cos ^{2} \left(x\right)
cos
2
(
x
)
en fonction d'une somme de cosinus de la forme
cos
(
n
x
)
\cos\left(nx\right)
cos
(
n
x
)
où
n
∈
N
n\in \mathbb{N}
n
∈
N
Correction
Les formules d’Euler
\red{\text{Les formules d'Euler}}
Les formules d’Euler
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
x
)
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
et
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
x
)
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
Soit
a
{\color{red}{a}}
a
un réel. Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
a
x
)
=
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
2
\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
a
x
)
=
2
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
et
sin
(
a
x
)
=
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
2
i
\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
a
x
)
=
2
i
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
cos
2
(
x
)
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
2
\cos ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{2}
cos
2
(
x
)
=
(
2
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
équivaut successivement à :
cos
2
(
x
)
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
2
2
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{2^{2} }
cos
2
(
x
)
=
2
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
cos
2
(
x
)
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
4
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{4}
cos
2
(
x
)
=
4
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
2
cos
2
(
x
)
=
(
e
i
x
)
2
+
2
e
i
x
e
−
i
x
+
(
e
−
i
x
)
2
4
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} +2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{4}
cos
2
(
x
)
=
4
(
e
i
x
)
2
+
2
e
i
x
e
−
i
x
+
(
e
−
i
x
)
2
cos
2
(
x
)
=
e
2
i
x
+
2
e
i
x
−
i
x
+
e
−
2
i
x
4
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{4}
cos
2
(
x
)
=
4
e
2
i
x
+
2
e
i
x
−
i
x
+
e
−
2
i
x
cos
2
(
x
)
=
e
2
i
x
+
2
e
0
+
e
−
2
i
x
4
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{0} +e^{-2ix} }{4}
cos
2
(
x
)
=
4
e
2
i
x
+
2
e
0
+
e
−
2
i
x
cos
2
(
x
)
=
e
2
i
x
+
2
+
e
−
2
i
x
4
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2+e^{-2ix} }{4}
cos
2
(
x
)
=
4
e
2
i
x
+
2
+
e
−
2
i
x
cos
2
(
x
)
=
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
4
+
2
4
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{4} +\frac{2}{4}
cos
2
(
x
)
=
4
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
+
4
2
cos
2
(
x
)
=
1
2
×
(
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
2
)
+
1
2
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
cos
2
(
x
)
=
2
1
×
(
2
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
)
+
2
1
Ainsi :
cos
2
(
x
)
=
1
2
cos
(
2
x
)
+
1
2
\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}
cos
2
(
x
)
=
2
1
cos
(
2
x
)
+
2
1
Question 2
En utilisant les formules d'Euler, linéariser
sin
2
(
x
)
\sin ^{2} \left(x\right)
sin
2
(
x
)
.
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
\red{\text{Cette question peut également se formuler comme suit :}}
Cette question peut
e
ˊ
galement se formuler comme suit :
exprimer
sin
2
(
x
)
\sin ^{2} \left(x\right)
sin
2
(
x
)
en fonction d'une somme de cosinus de la forme
cos
(
n
x
)
\cos\left(nx\right)
cos
(
n
x
)
où
n
∈
N
n\in \mathbb{N}
n
∈
N
Correction
Les formules d’Euler
\red{\text{Les formules d'Euler}}
Les formules d’Euler
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
x
)
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
et
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
x
)
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
Soit
a
{\color{red}{a}}
a
un réel. Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
a
x
)
=
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
2
\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
a
x
)
=
2
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
et
sin
(
a
x
)
=
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
2
i
\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
a
x
)
=
2
i
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
sin
2
(
x
)
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
2
\sin ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{2}
sin
2
(
x
)
=
(
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
sin
2
(
x
)
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
(
2
i
)
2
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{\left(2i\right)^{2} }
sin
2
(
x
)
=
(
2
i
)
2
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
sin
2
(
x
)
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
−
4
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
sin
2
(
x
)
=
−
4
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
2
sin
2
(
x
)
=
(
e
i
x
)
2
−
2
e
i
x
e
−
i
x
+
(
e
−
i
x
)
2
−
4
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} -2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
sin
2
(
x
)
=
−
4
(
e
i
x
)
2
−
2
e
i
x
e
−
i
x
+
(
e
−
i
x
)
2
sin
2
(
x
)
=
e
2
i
x
−
2
e
i
x
−
i
x
+
e
−
2
i
x
−
4
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{-4}
sin
2
(
x
)
=
−
4
e
2
i
x
−
2
e
i
x
−
i
x
+
e
−
2
i
x
sin
2
(
x
)
=
e
2
i
x
−
2
e
0
+
e
−
2
i
x
−
4
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{0} +e^{-2ix} }{-4}
sin
2
(
x
)
=
−
4
e
2
i
x
−
2
e
0
+
e
−
2
i
x
sin
2
(
x
)
=
e
2
i
x
−
2
+
e
−
2
i
x
−
4
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2+e^{-2ix} }{-4}
sin
2
(
x
)
=
−
4
e
2
i
x
−
2
+
e
−
2
i
x
sin
2
(
x
)
=
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
−
4
+
(
−
2
−
4
)
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} +\left(\frac{-2}{-4} \right)
sin
2
(
x
)
=
−
4
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
+
(
−
4
−
2
)
sin
2
(
x
)
=
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
−
4
+
1
2
\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} +\frac{1}{2}
sin
2
(
x
)
=
−
4
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
+
2
1
sin
2
(
x
)
=
−
1
2
×
(
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
2
)
+
1
2
\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{blue}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{blue}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
sin
2
(
x
)
=
−
2
1
×
(
2
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
)
+
2
1
Ainsi :
sin
2
(
x
)
=
−
1
2
cos
(
2
x
)
+
1
2
\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \cos \left({\color{blue}{2x}}\right)+\frac{1}{2}
sin
2
(
x
)
=
−
2
1
cos
(
2
x
)
+
2
1