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Nombres complexes : point de vue géométrique
La formule de Moivre - Exercice 1
10 min
20
Question 1
Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe
z
1
=
(
c
o
s
(
π
3
)
+
i
s
i
n
(
π
3
)
)
4
z_1={\left({\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{3}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{3}\right)\ }\right)}^4
z
1
=
(
cos
(
3
π
)
+
i
sin
(
3
π
)
)
4
.
Correction
La formule de Moivre
\red{\text{La formule de Moivre}}
La formule de Moivre
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
et pour tout entier naturel
n
{\color{red}{n}}
n
, on a :
c
o
s
(
n
x
)
+
i
s
i
n
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
n
{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
z
1
=
(
c
o
s
(
π
3
)
+
i
s
i
n
(
π
3
)
)
4
z_1={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{3}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{3}}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{4}}
z
1
=
(
cos
(
3
π
)
+
i
sin
(
3
π
)
)
4
équivaut successivement à :
z
1
=
c
o
s
(
4
π
3
)
+
i
s
i
n
(
4
π
3
)
z_1={\mathrm{cos} \left({\color{red}{4}}{\color{blue}{\frac{\pi}{3}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{4}}{\color{blue}{\frac{\pi}{3}}}\right)\ }
z
1
=
cos
(
4
3
π
)
+
i
sin
(
4
3
π
)
z
1
=
c
o
s
(
4
π
3
)
+
i
s
i
n
(
4
π
3
)
z_1={\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi }{3}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{4\pi }{3}\right)\ }
z
1
=
cos
(
3
4
π
)
+
i
sin
(
3
4
π
)
Ainsi :
z
1
=
−
1
2
−
i
3
2
z_1=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}
z
1
=
−
2
1
−
i
2
3
Question 2
Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe
z
2
=
(
c
o
s
(
π
6
)
+
i
s
i
n
(
π
6
)
)
3
z_2={\left({\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{6}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{6}\right)\ }\right)}^3
z
2
=
(
cos
(
6
π
)
+
i
sin
(
6
π
)
)
3
.
Correction
La formule de Moivre
\red{\text{La formule de Moivre}}
La formule de Moivre
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
et pour tout entier naturel
n
{\color{red}{n}}
n
, on a :
c
o
s
(
n
x
)
+
i
s
i
n
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
n
{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
z
2
=
(
c
o
s
(
π
6
)
+
i
s
i
n
(
π
6
)
)
3
z_2={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{6}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{6}}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{3}}
z
2
=
(
cos
(
6
π
)
+
i
sin
(
6
π
)
)
3
équivaut successivement à :
z
2
=
c
o
s
(
3
π
6
)
+
i
s
i
n
(
3
π
6
)
z_2={\mathrm{cos} \left({\color{red}{3}}{\color{blue}{\frac{\pi}{6}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{3}}{\color{blue}{\frac{\pi}{6}}}\right)\ }
z
2
=
cos
(
3
6
π
)
+
i
sin
(
3
6
π
)
z
2
=
c
o
s
(
3
π
6
)
+
i
s
i
n
(
3
π
6
)
z_2={\mathrm{cos} \left(\frac{3\pi }{6}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{3\pi }{6}\right)\ }
z
2
=
cos
(
6
3
π
)
+
i
sin
(
6
3
π
)
z
2
=
c
o
s
(
π
2
)
+
i
s
i
n
(
π
2
)
z_2={\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}\right)\ }
z
2
=
cos
(
2
π
)
+
i
sin
(
2
π
)
z
2
=
0
+
i
z_2=0+i
z
2
=
0
+
i
Ainsi :
z
2
=
i
z_2=i
z
2
=
i
Question 3
Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe
z
3
=
(
c
o
s
(
π
8
)
+
i
s
i
n
(
π
8
)
)
6
z_3={\left({\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{8}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{8}\right)\ }\right)}^6
z
3
=
(
cos
(
8
π
)
+
i
sin
(
8
π
)
)
6
.
Correction
La formule de Moivre
\red{\text{La formule de Moivre}}
La formule de Moivre
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
et pour tout entier naturel
n
{\color{red}{n}}
n
, on a :
c
o
s
(
n
x
)
+
i
s
i
n
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
n
{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
z
3
=
(
c
o
s
(
π
8
)
+
i
s
i
n
(
π
8
)
)
6
z_3={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{8}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{8}}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{6}}
z
3
=
(
cos
(
8
π
)
+
i
sin
(
8
π
)
)
6
équivaut successivement à :
z
3
=
c
o
s
(
6
π
8
)
+
i
s
i
n
(
6
π
8
)
z_3={\mathrm{cos} \left({\color{red}{6}}{\color{blue}{\frac{\pi}{8}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{6}}{\color{blue}{\frac{\pi}{8}}}\right)\ }
z
3
=
cos
(
6
8
π
)
+
i
sin
(
6
8
π
)
z
3
=
c
o
s
(
6
π
8
)
+
i
s
i
n
(
6
π
8
)
z_3={\mathrm{cos} \left(\frac{6\pi }{8}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{6\pi }{8}\right)\ }
z
3
=
cos
(
8
6
π
)
+
i
sin
(
8
6
π
)
z
3
=
c
o
s
(
3
π
4
)
+
i
s
i
n
(
3
π
4
)
z_3={\mathrm{cos} \left(\frac{3\pi }{4}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{3\pi }{4}\right)\ }
z
3
=
cos
(
4
3
π
)
+
i
sin
(
4
3
π
)
Ainsi :
z
3
=
−
2
2
+
i
2
2
z_3=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}
z
3
=
−
2
2
+
i
2
2
Question 4
Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe
z
4
=
(
c
o
s
(
π
27
)
+
i
s
i
n
(
π
27
)
)
9
z_4={\left({\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{27}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{27}\right)\ }\right)}^9
z
4
=
(
cos
(
27
π
)
+
i
sin
(
27
π
)
)
9
.
Correction
La formule de Moivre
\red{\text{La formule de Moivre}}
La formule de Moivre
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
et pour tout entier naturel
n
{\color{red}{n}}
n
, on a :
c
o
s
(
n
x
)
+
i
s
i
n
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
n
{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
z
4
=
(
c
o
s
(
π
27
)
+
i
s
i
n
(
π
27
)
)
9
z_4={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{27}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{\frac{\pi }{27}}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{9}}
z
4
=
(
cos
(
27
π
)
+
i
sin
(
27
π
)
)
9
équivaut successivement à :
z
4
=
c
o
s
(
9
π
27
)
+
i
s
i
n
(
9
π
27
)
z_4={\mathrm{cos} \left({\color{red}{9}}{\color{blue}{\frac{\pi}{27}}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{9}}{\color{blue}{\frac{\pi}{27}}}\right)\ }
z
4
=
cos
(
9
27
π
)
+
i
sin
(
9
27
π
)
z
4
=
c
o
s
(
9
π
27
)
+
i
s
i
n
(
9
π
27
)
z_4={\mathrm{cos} \left(\frac{9\pi }{27}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{9\pi }{27}\right)\ }
z
4
=
cos
(
27
9
π
)
+
i
sin
(
27
9
π
)
z
4
=
c
o
s
(
π
3
)
+
i
s
i
n
(
π
3
)
z_4={\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{3}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{3}\right)\ }
z
4
=
cos
(
3
π
)
+
i
sin
(
3
π
)
Ainsi :
z
4
=
1
2
+
i
3
2
z_4=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}
z
4
=
2
1
+
i
2
3