Nombres complexes : point de vue géométrique

Exploiter géométriquement l'affixe d'un vecteur - Exercice 5

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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Soient les points AA, BB, et CC d'affixes respectives zA=3iz_{A} =3i , zB=3+5iz_{B} =3+5i et zC=1+2iz_{C} =1+2i .
Question 1

Déterminer l'affixe du point DD tel que le quadrilatère ABCDABCD soit un parallélogramme.

Correction
    Si le point DD est tel que ABCDABCD soit un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :
    zDC→=zAB→z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }
Il vient alors que :
zDC→=zAB→z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} } équivaut successivement à :
zC−zD=zB−zAz_{C} -z_{D} =z_{B} -z_{A}
1+2i−zD=3+5i−(3i)1+2i-z_{D} =3+5i-\left(3i\right)
1+2i−zD=3+5i−3i1+2i-z_{D} =3+5i-3i
1+2i−zD=3+2i1+2i-z_{D} =3+2i
−zD=3+2i−(1+2i)-z_{D} =3+2i-\left(1+2i\right)
−zD=3+2i−1−2i-z_{D} =3+2i-1-2i
−zD=2-z_{D} =2
Ainsi :
zD=−2z_{D} =-2