Nombres complexes : point de vue géométrique

Exploiter géométriquement l'affixe d'un vecteur - Exercice 3

10 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
On considère les points A,BA,B et CC d'affixes respectifs zA=3+2iz_{A} =3+2i, zB=4−3iz_{B} =4-3i, zC=−2+2iz_{C} =-2+2i

Placer les points AA, BB et CC.

Correction
Question 2

Déterminer l'affixe du centre de gravité GG du triangle ABCABC.
Le centre de gravité GG vérifie la relation vectorielle suivante : GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}

Correction
  • Si zAz_{A} et zBz_{B} sont les affixes respectives des points AA et BB dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égale à zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}.
GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} équivaut à :
zGA→+zGB→+zGC→=0→z_{\overrightarrow{GA}} +z_{\overrightarrow{GB}}+z_{\overrightarrow{GC}}=\overrightarrow{0}
zA−zG+zB−zG+zA−zG=0z_{A} -z_{G}+z_{B} -z_{G}+z_{A} -z_{G}=0
3+2i−zG+4−3i−zG−2+2i−zG=03+2i -z_{G}+4-3i -z_{G}-2+2i-z_{G}=0
5+i−3zG=05+i -3z_{G}=0
zG=53+13iz_{G}=\frac{5}{3} +\frac{1}{3} i

Graphiquement, cela nous donne :
Question 3

Déterminer l'affixe du milieu II de [BC]\left[BC\right].

Correction
    Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B}
  • Si le point II d'affixe zIz_{I} est le milieu de [AB]\left[AB\right] alors zI=zA+zB2z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}
Il vient alors que :
zI=zB+zC2z_{I}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}
zI=4−3i−2+2i2z_{I}=\frac{4-3i-2+2i}{2}
zI=2−i2z_{I}=\frac{2-i}{2}
zI=1−12iz_{I}=1 -\frac{1}{2}i
Question 4

Montrer que les points AA, II et GG sont alignés.

Correction
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}}
zAI→=zI−zAz_{\overrightarrow{AI} }=z_{I}-z_{A}
zAI→=1−12i−(3+2i)z_{\overrightarrow{AI} }=1 -\frac{1}{2}i-\left(3+2i\right)
zAI→=1−12i−3−2iz_{\overrightarrow{AI} }=1 -\frac{1}{2}i-3-2i
zAI→=−2−52iz_{\overrightarrow{AI} }=-2-\frac{5}{2}i
Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}}
zAG→=zG−zAz_{\overrightarrow{AG} }=z_{G}-z_{A}
zAG→=53+13i−(3+2i)z_{\overrightarrow{AG} }=\frac{5}{3} +\frac{1}{3} i-\left(3+2i\right)
zAG→=53+13i−3−2iz_{\overrightarrow{AG} }=\frac{5}{3} +\frac{1}{3} i-3-2i
zAG→=−43−53iz_{\overrightarrow{AG} }=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i
On remarque que :
zAI→=32×zAG→z_{\overrightarrow{AI} }=\frac{3}{2}\times z_{\overrightarrow{AG} }

Les vecteurs AG→\overrightarrow{AG} et AI→\overrightarrow{AI} sont colineˊaires\blue{\text{colinéaires}} donc les points AA, II et GG sont alignés.