Nombres complexes : point de vue géométrique

Exploiter géométriquement l'affixe d'un vecteur - Exercice 2

5 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Soient les points AA, BB et CC d'affixes respectives : zA=1+iz_{A} =1+i , zB=4+2iz_{B} =4+2i et zC=−5−iz_{C} =-5-i.

Placer les points AA, BB et CC.

Correction
Question 2

Montrer que les points AA, BB et CC sont alignés.

Correction
  • Si zAz_{A} et zBz_{B} sont les affixes respectives des points AA et BB dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égale à zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}.
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}}
zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}
zAB→=4+2i−(1+i)z_{\overrightarrow{AB} }=4+2i-\left(1+i\right)
zAB→=4+2i−1−iz_{\overrightarrow{AB} }=4+2i-1-i
zAB→=3+iz_{\overrightarrow{AB} }=3+i
Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}}
zBC→=zC−zBz_{\overrightarrow{BC} }=z_{C}-z_{B}
zBC→=−5−i−(4+2i)z_{\overrightarrow{BC} }=-5-i-\left(4+2i\right)
zBC→=−5−i−4−2iz_{\overrightarrow{BC} }=-5-i-4-2i
zBC→=−9−3iz_{\overrightarrow{BC} }=-9-3i
On remarque que : zBC→=−3×zAB→z_{\overrightarrow{BC} }=-3\times z_{\overrightarrow{AB} }
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} sont colineˊaires\blue{\text{colinéaires}} donc les points AA, BB et CC sont alignés.