Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v) Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives zA=−4−3i , zB=3−2i , zC=4+5i et zD=−3+4i.
1
Placer les points A, B, C et D puis donner une conjecture sur la nature du quadrilatère ABCD .
Correction
En plaçant les 4 affixes sur un repère, on conjecture que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
2
Démontrer alors votre conjecture.
Correction
Si zA et zB sont les affixes respectives des points A et B dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB est égale à zAB=zB−zA.
Montrons alors que zDC=zAB. D’une part : zDC=zC−zD zDC=4+5i−(−3+4i) zDC=4+5i+3−4i
zDC=7+i
D’autre part : zAB=zB−zA zAB=3−2i−(−4−3i) zAB=3−2i+4+3i
zAB=7+i
Nous avons bien zDC=zAB. il en résulte que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3
Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme.
Correction
Notons I le centre du parallélogramme ABCD . I est alors le milieu des diagonales. Donc I est le milieu de [BD] .
Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB
Si le point I d'affixe zI est le milieu de [AB] alors zI=2zA+zB
Il vient alors que : zI=2zB+zD zI=23−2i−3+4i zI=22i
zI=i
Exercice 2
COMPETENCES:1°)Repreˊsenter.2°)Calculer.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v) . Soient les points A, B et C d'affixes respectives : zA=1+i , zB=4+2i et zC=−5−i.
1
Placer les points A, B et C.
Correction
2
Montrer que les points A, B et C sont alignés.
Correction
Si zA et zB sont les affixes respectives des points A et B dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB est égale à zAB=zB−zA.
Calculons d’une part : zAB=zB−zA zAB=4+2i−(1+i) zAB=4+2i−1−i zAB=3+i Calculons d’autre part : zBC=zC−zB zBC=−5−i−(4+2i) zBC=−5−i−4−2i zBC=−9−3i On remarque que : zBC=−3×zAB Les vecteurs AB et BC sont colineˊaires donc les points A, B et C sont alignés.
Exercice 3
COMPETENCES:1°)Repreˊsenter.2°)Calculer.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v) On considère les points A,B et C d'affixes respectifs zA=3+2i, zB=4−3i, zC=−2+2i
1
Placer les points A, B et C.
Correction
2
Déterminer l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC. Le centre de gravité G vérifie la relation vectorielle suivante : GA+GB+GC=0
Correction
Si zA et zB sont les affixes respectives des points A et B dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB est égale à zAB=zB−zA.
GA+GB+GC=0 équivaut à : zGA+zGB+zGC=0 zA−zG+zB−zG+zA−zG=0 3+2i−zG+4−3i−zG−2+2i−zG=0 5+i−3zG=0
zG=35+31i
Graphiquement, cela nous donne :
3
Déterminer l'affixe du milieu I de [BC].
Correction
Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB
Si le point I d'affixe zI est le milieu de [AB] alors zI=2zA+zB
Il vient alors que : zI=2zB+zC zI=24−3i−2+2i zI=22−i
zI=1−21i
4
Montrer que les points A, I et G sont alignés.
Correction
Calculons d’une part : zAI=zI−zA zAI=1−21i−(3+2i) zAI=1−21i−3−2i zAI=−2−25i Calculons d’autre part : zAG=zG−zA zAG=35+31i−(3+2i) zAG=35+31i−3−2i zAG=−34−35i On remarque que :
zAI=23×zAG
Les vecteurs AG et AI sont colineˊaires donc les points A, I et G sont alignés.
Exercice 4
COMPETENCES:1°)Repreˊsenter.2°)Calculer.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v) On considère les points A,B et C d'affixes respectifs zA=6i, zB=2+2i, zC=4+4i
1
Placer les points A, B et C .
Correction
2
Déterminer les affixes des vecteurs AB et AC .
Correction
zAB=zB−zA équivaut successivement à : zAB=2+2i−6i
zAB=2−4i
zAC=zC−zA équivaut successivement à : zAC=4+4i−6i
zAC=4−2i
3
Calculer les modules des vecteurs AB et AC Que peut-on en déduire quant à la nature du triangle ABC ?
Correction
AB=∣zB−zA∣ équivaut successivement à AB=∣2−4i∣ AB=(2)2+(−4)2 AB=20
AB=25
AC=∣4−2i∣ AC=(4)2+(−2)2 AC=20
AC=25
Le triangle ABC est donc isocèle en A.
Exercice 5
COMPETENCES:1°)Repreˊsenter.2°)Calculer.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v) Soient les points A, B, et C d'affixes respectives zA=3i , zB=3+5i et zC=1+2i .
1
Déterminer l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Correction
Si le point D est tel que ABCD est un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :
zDC=zAB
Il vient alors que : zDC=zAB équivaut successivement à : zC−zD=zB−zA 1+2i−zD=3+5i−(3i) 1+2i−zD=3+5i−3i 1+2i−zD=3+2i −zD=3+2i−(1+2i) −zD=3+2i−1−2i −zD=2 Ainsi :
zD=−2
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