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Exploiter géométriquement l'affixe d'un vecteur - Exercice 1

5 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Soient les points AA, BB, CC et DD d'affixes respectives zA=−4−3iz_{A} =-4-3i , zB=3−2iz_{B} =3-2i , zC=4+5iz_{C} =4+5i et zD=−3+4iz_{D} =-3+4i.

Placer les points AA, BB, CC et DD puis donner une conjecture sur la nature du quadrilatère ABCDABCD .

Correction
En plaçant les 44 affixes sur un repère, on conjecture que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
Question 2

Démontrer alors votre conjecture.

Correction
  • Si zAz_{A} et zBz_{B} sont les affixes respectives des points AA et BB dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égale à zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}.
Montrons alors que zDC→=zAB→z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }.
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
zDC→=zC−zDz_{\overrightarrow{DC} }=z_{C}-z_{D}
zDC→=4+5i−(−3+4i)z_{\overrightarrow{DC} }=4+5i-\left(-3+4i\right)
zDC→=4+5i+3−4iz_{\overrightarrow{DC} }=4+5i+3-4i
zDC→=7+iz_{\overrightarrow{DC} }=7+i

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}
zAB→=3−2i−(−4−3i)z_{\overrightarrow{AB} }=3-2i-\left(-4-3i\right)
zAB→=3−2i+4+3iz_{\overrightarrow{AB} }=3-2i+4+3i
zAB→=7+iz_{\overrightarrow{AB} }=7+i

Nous avons bien zDC→=zAB→z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }. il en résulte que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
Question 3

Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme.

Correction
Notons II le centre du parallélogramme ABCDABCD .
II est alors le milieu des diagonales. Donc II est le milieu de [BD]\left[BD\right] .
    Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B}
  • Si le point II d'affixe zIz_{I} est le milieu de [AB]\left[AB\right] alors zI=zA+zB2z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}
Il vient alors que :
zI=zB+zD2z_{I}=\frac{z_{B}+z_{D}}{2}
zI=3−2i−3+4i2z_{I}=\frac{3-2i-3+4i}{2}
zI=2i2z_{I}=\frac{2i}{2}
zI=iz_{I}=i

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