Exploiter géométriquement l'affixe d'un vecteur

En plaçant les $4$ affixes sur un repère, on conjecture que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Montrons alors que $z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }$.
$\red{\text{D'une part :}}$
$z_{\overrightarrow{DC} }=z_{C}-z_{D}$
$z_{\overrightarrow{DC} }=4+5i-\left(-3+4i\right)$
$z_{\overrightarrow{DC} }=4+5i+3-4i$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$z_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}$
$z_{\overrightarrow{AB} }=3-2i-\left(-4-3i\right)$
$z_{\overrightarrow{AB} }=3-2i+4+3i$

Nous avons bien $z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }$. il en résulte que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Notons $I$ le centre du parallélogramme $ABCD$ .
$I$ est alors le milieu des diagonales. Donc $I$ est le milieu de $\left[BD\right]$ .
Il vient alors que :
$z_{I}=\frac{z_{B}+z_{D}}{2}$
$z_{I}=\frac{3-2i-3+4i}{2}$
$z_{I}=\frac{2i}{2}$

$\red{\text{Calculons d'une part :}}$
$z_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}$
$z_{\overrightarrow{AB} }=4+2i-\left(1+i\right)$
$z_{\overrightarrow{AB} }=4+2i-1-i$
$z_{\overrightarrow{AB} }=3+i$
$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$
$z_{\overrightarrow{BC} }=z_{C}-z_{B}$
$z_{\overrightarrow{BC} }=-5-i-\left(4+2i\right)$
$z_{\overrightarrow{BC} }=-5-i-4-2i$
$z_{\overrightarrow{BC} }=-9-3i$
On remarque que : $z_{\overrightarrow{BC} }=-3\times z_{\overrightarrow{AB} }$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont $\blue{\text{colinéaires}}$ donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ équivaut à :
$z_{\overrightarrow{GA}} +z_{\overrightarrow{GB}}+z_{\overrightarrow{GC}}=\overrightarrow{0}$
$z_{A} -z_{G}+z_{B} -z_{G}+z_{A} -z_{G}=0$
$3+2i -z_{G}+4-3i -z_{G}-2+2i-z_{G}=0$
$5+i -3z_{G}=0$

Graphiquement, cela nous donne :

Il vient alors que :
$z_{I}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}$
$z_{I}=\frac{4-3i-2+2i}{2}$
$z_{I}=\frac{2-i}{2}$

$\red{\text{Calculons d'une part :}}$
$z_{\overrightarrow{AI} }=z_{I}-z_{A}$
$z_{\overrightarrow{AI} }=1 -\frac{1}{2}i-\left(3+2i\right)$
$z_{\overrightarrow{AI} }=1 -\frac{1}{2}i-3-2i$
$z_{\overrightarrow{AI} }=-2-\frac{5}{2}i$
$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$
$z_{\overrightarrow{AG} }=z_{G}-z_{A}$
$z_{\overrightarrow{AG} }=\frac{5}{3} +\frac{1}{3} i-\left(3+2i\right)$
$z_{\overrightarrow{AG} }=\frac{5}{3} +\frac{1}{3} i-3-2i$
$z_{\overrightarrow{AG} }=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i$
On remarque que :
Les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont $\blue{\text{colinéaires}}$ donc les points $A$, $I$ et $G$ sont alignés.

$z_{\overrightarrow{AB} } =z_{B} -z_{A}$ équivaut successivement à :
$z_{\overrightarrow{AB} } =2+2i-6i$

$z_{\overrightarrow{AC} } =z_{C} -z_{A}$ équivaut successivement à :
$z_{\overrightarrow{AC} }=4+4i-6i$

$AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|$ équivaut successivement à
$AB=\left|2-4i\right|$
$AB=\sqrt{\left(2\right)^{2} +\left(-4\right)^{2} }$
$AB=\sqrt{20}$

$AC=\left|4-2i\right|$
$AC=\sqrt{\left(4\right)^{2} +\left(-2\right)^{2} }$
$AC=\sqrt{20}$

Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.

Il vient alors que :
$z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }$ équivaut successivement à :
$z_{C} -z_{D} =z_{B} -z_{A}$
$1+2i-z_{D} =3+5i-\left(3i\right)$
$1+2i-z_{D} =3+5i-3i$
$1+2i-z_{D} =3+2i$
$-z_{D} =3+2i-\left(1+2i\right)$
$-z_{D} =3+2i-1-2i$
$-z_{D} =2$
Ainsi :