Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

$$\left|j \right|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|j \right|=1$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3}}{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]$$

L'écriture trigonométrique de $$j$$ est alors

$$j = \cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)$$

L'écriture exponentielle de $$j$$ est alors

$$j = e^{i\frac{2\pi }{3} }$$

$$a'=aj\Leftrightarrow a'=-4j\Leftrightarrow a'=-4\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$$ . L'écriture algébrique de $$a'$$ est :

$$a'=2-2i\sqrt{3}$$

$$a'=aj\Leftrightarrow a'=-4j\Leftrightarrow a'=-4e^{\frac{2i\pi }{3} } \Leftrightarrow a'=4\times \left(-1\right)\times e^{\frac{2i\pi }{3} } \Leftrightarrow a'=4\times e^{i\pi } \times e^{\frac{2i\pi }{3} } \Leftrightarrow a'=4e^{i\left(\pi +\frac{2\pi }{3} \right)}$$
Finalement l'écriture exponentielle de $$a'$$ est : (mesure principale de l'argument)

$$b'=jb\Leftrightarrow b'=2j\Leftrightarrow b'=2\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$$ . L'écriture algébrique de $$b'$$ est :

$$b'=-1+i\sqrt{3}$$

$$b'=jb\Leftrightarrow b'=2j\Leftrightarrow b'=2e^{\frac{2i\pi }{3} }$$
Finalement l'écriture exponentielle de $$b'$$ est :

$$c'=jc\Leftrightarrow c'=4j\Leftrightarrow c'=4\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$$ . L'écriture algébrique de $$c'$$ est :

$$c'=-2+2i\sqrt{3}$$

$$c'=jc\Leftrightarrow c'=4j\Leftrightarrow c'=4e^{\frac{2i\pi }{3} }$$
Finalement l'écriture exponentielle de $$c'$$ est :

$$\left|a'\right|=4$$ donc $$A'$$ est sur le cercle de centre $$O$$ et de rayon $$4$$ (cercle vert) et on a :

$$Re\left(a'\right)= 2$$ et $$Im\left(a'\right)<0$$, on peut donc placer $$A'$$.

$$\left|b'\right|=2$$ donc $$B'$$ est sur le cercle de centre $$O$$ et de rayon $$2$$ (cercle rouge) et on a :

$$Re\left(b'\right)= -1$$ et $$Im\left(b'\right)>0$$, on peut donc placer $$B'$$.

$$\left|c'\right|=4$$ donc $$C'$$ est sur le cercle de centre $$O$$ et de rayon $$4$$ (cercle vert) et on a :

$$Re\left(c'\right)= -2$$ et $$Im\left(c'\right)>0$$, on peut donc placer $$C'$$.

On vérifie facilement que $$a'=-c'$$ . Cela signifie que les points $$A'$$ et $$C'$$ sont symétriques par rapport au point $$O$$. Donc les points $$A'$$ , $$O$$ et $$C'$$ sont alignés.

De plus, $$\arg \left(b'\right)=\arg \left(c'\right)=\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]$$ . Cela signifie donc les vecteurs $$\overrightarrow{OB'}$$ et $$\overrightarrow{OC'}$$ sont colinéaires. Donc les points $$O$$, $$B'$$ et $$C'$$ sont alignés.

Nous venons de démontrer que les points $$A'$$ , $$O$$ et $$C'$$ sont alignés et que les points $$O$$, $$B'$$ et $$C'$$ sont alignés.
Il en résulte donc que les points $$A'$$, $$B'$$ et $$C'$$ sont alignés.

Nous allons dans un premier temps calculer les affixes des points $$M$$, $$N$$ et $$P$$. On les note respectivement $$m$$, $$n$$ et $$p$$.
$$m=\frac{a'+c}{2} =\frac{2-2i\sqrt{3} +4}{2} =3-i\sqrt{3}$$
$$n=\frac{c'+c}{2} =\frac{-2+2i\sqrt{3} +4}{2} =1+i\sqrt{3}$$
$$p=\frac{c'+a}{2} =\frac{-2+2i\sqrt{3} -4}{2} =-3+i\sqrt{3}$$
Nous plaçons les points sur le repère, pour nous donner une idée, quant à la nature du triangle MNP.
$$MNP$$ semble isocèle en $$N$$ d’après le dessin.

$$MN=\left|n-m\right|=\left|1+i\sqrt{3} -\left(3-i\sqrt{3} \right)\right|=\left|-2+2i\sqrt{3} \right|=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +\left(2\sqrt{3} \right)^{2} } =4$$

$$PN=\left|n-p\right|=\left|1+i\sqrt{3} -\left(-3+i\sqrt{3} \right)\right|=\left|4\right|=\sqrt{4^{2} } =4$$

Nous avons bien $$MN=PN$$. Le triangle $$MNP$$ est donc bien isocèle en $$N$$ .