Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Notons $$z_{1}=1+i$$ et $$z_{2}=1-i$$.
$$\red{\text{ Calcul du module et argument de}}$$ $$\red{1+i}$$
$$\left|z_{1} \right|=\left|1+i\right|=\left(\sqrt{1^{2} +1^{2} } \right)=\sqrt{2}$$
L'argument de $$z_{1} =1+i$$ est donné par $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{1}$$ est alors
L'écriture exponentielle de $$z_{1}$$ est alors
Nous remarquons que $$z_{2}$$ est le conjugué de $$z_{1}$$.
Il en résulte donc que :
L'écriture exponentielle de $$z_{2}$$ est alors
L'écriture trigonométrique de $$z_{2}$$ est alors
On peut simplifier cette écriture sous la forme $$z_{2} =\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)$$

On rappelle que d'après la question $$1$$ , on sait que : $$1+i=\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} }$$ et $$1-i=\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} }$$
$$S_{n}=\left(1+i\right)^{n} +\left(1-i\right)^{n}$$ équivaut successivement à :
$$S_{n} =\left(\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{n} +\left(\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{n}$$$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{n} +\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{n}$$$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{n\pi }{4} } \right)+\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{-i\frac{n\pi }{4} } \right)$$
$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{n\pi }{4} } +e^{-i\frac{n\pi }{4} } \right)$$
$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)+\cos \left(-\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{4} \right)\right)$$
$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)+\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)-i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)\right)$$
$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(2\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)\right)$$

$$\purple{\text{La proposition est vraie.}}$$
D'après la question $$2$$, nous savons que $$S_{n} =2\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)$$.
Or $$2$$ est un réel et $$\left(\sqrt{2} \right)^{n}$$ est également un réel.
De plus, $$-1\le \cos \left(n\frac{\pi }{4} \right)\le 1$$. Cela signifie donc que $$\cos \left(n\frac{\pi }{4} \right)$$ est aussi un réel.
Nous avons donc le produit de $$3$$ réels. Il en résulte donc que pour tout entier naturel $$n$$, le nombre complexe $$S_{n}$$ est un nombre réel.

$$\purple{\text{La proposition est vraie.}}$$
$$S_{n} =0$$ équivaut successivement à :
$$2\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=0$$
$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\frac{0}{2\left(\sqrt{2} \right)^{n}}$$
$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=0$$
$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)$$
$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{n\pi }{4} } & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{n\pi }{4} } & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
On divise les égalités par $$\pi$$, cela nous donne :

$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{n}{4} } & {=} & {\frac{1 }{2} +2k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{n }{4} } & {=} & {-\frac{1 }{2} +2k } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.

$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {n } & {=} & {\frac{4 }{2} +2\times4k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {n} & {=} & {-\frac{4 }{2} +2\times4k } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.

$$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {n } & {=} & {2+8k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {n} & {=} & {-2+8k } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Soit $$k\in \mathbb{Z}$$. Lorsque $$n=2+8k$$ ou lorsque $$n=-2+8k$$ alors $$S_{n}=0$$.
Donc il y a bien une infinité de valeurs pour lesquelles $$S_{n}=0$$.