Nombres complexes : point de vue géométrique

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

25 min
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COMPETENCES  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\;2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}     \;\;3°)  Communiquer.{\color{red}3°)\;Communiquer.}
Question 1

Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i1+i et 1i1-i.

Correction
Notons z1=1+iz_{1}=1+i et z2=1iz_{2}=1-i.
 Calcul du module et argument de\red{\text{ Calcul du module et argument de}} 1+i\red{1+i}
z1=1+i=(12+12)=2\left|z_{1} \right|=\left|1+i\right|=\left(\sqrt{1^{2} +1^{2} } \right)=\sqrt{2}
L'argument de z1=1+iz_{1} =1+i est donné par {cos(θ)=12=22sin(θ)=12=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=π4[2π]\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=z(cos(θ)+isin(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
L'écriture trigonométrique de z1z_{1} est alors
z1=2(cos(π4)+isin(π4))z_{1} =\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)

L'écriture exponentielle de z1z_{1} est alors
z1=2eiπ4z_{1} =\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4} }

Nous remarquons que z2z_{2} est le conjugué de z1z_{1} .
Soit zz un nombre complexe dont le module est z\left|z\right| et θ\theta un argument de zz. On note z\overline{z} le conjugué de zz.
  • L'écriture exponentielle de zz est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
  • L'écriture exponentielle de z\overline{z} est alors z=zeiθz=\left|z\right|e^{-i\theta }
Il en résulte donc que :
L'écriture exponentielle de z2z_{2} est alors
z2=2eiπ4z_{2} =\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4} }

L'écriture trigonométrique de z2z_{2} est alors
z2=2(cos(π4)+isin(π4))z_{2} =\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{-\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{-\pi }{4} \right)\right)

On peut simplifier cette écriture sous la forme z2=2(cos(π4)isin(π4))z_{2} =\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)
  • cos(x)=cos(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right) et sin(x)=sin(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
Question 2
Pour tout entier naturel nn, on pose Sn=(1+i)n+(1i)nS_{n}=\left(1+i\right)^{n} +\left(1-i\right)^{n}.

Déterminer la forme trigonométrique de SnS_{n}.

Correction
On rappelle que d'après la question 11 , on sait que : 1+i=2eiπ41+i=\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } et 1i=2eiπ41-i=\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} }
Sn=(1+i)n+(1i)nS_{n}=\left(1+i\right)^{n} +\left(1-i\right)^{n} équivaut successivement à :
Sn=(2eiπ4)n+(2eiπ4)nS_{n} =\left(\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{n} +\left(\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{n}
  • (ab)n=an×bn\left(ab\right)^{n} =a^{n} \times b^{n}
Sn=(2)n×(eiπ4)n+(2)n×(eiπ4)nS_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{n} +\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{n}
  • (eiθ)n=ein×θ\left(e^{i\theta } \right)^{n} =e^{in\times \theta }
Sn=(2)n×(einπ4)+(2)n×(einπ4)S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{n\pi }{4} } \right)+\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{-i\frac{n\pi }{4} } \right)
Sn=(2)n×(einπ4+einπ4)S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{n\pi }{4} } +e^{-i\frac{n\pi }{4} } \right)
  • eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i\theta } =\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)
Sn=(2)n×(cos(nπ4)+isin(nπ4)+cos(nπ4)+isin(nπ4))S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)+\cos \left(-\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{4} \right)\right)
  • cos(x)=cos(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right) et sin(x)=sin(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
Sn=(2)n×(cos(nπ4)+isin(nπ4)+cos(nπ4)isin(nπ4))S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)+\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)-i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)\right)
Sn=(2)n×(2cos(nπ4))S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(2\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)\right)
Sn=2(2)n×cos(nπ4)S_{n} =2\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)

Question 3
Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Pour tout entier naturel nn, le nombre complexe SnS_{n} est un nombre réel.

Correction
La proposition est vraie.\purple{\text{La proposition est vraie.}}
D'après la question 22, nous savons que Sn=2(2)n×cos(nπ4)S_{n} =2\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right).
Or 22 est un réel et (2)n\left(\sqrt{2} \right)^{n} est également un réel.
De plus, 1cos(nπ4)1-1\le \cos \left(n\frac{\pi }{4} \right)\le 1. Cela signifie donc que cos(nπ4)\cos \left(n\frac{\pi }{4} \right) est aussi un réel.
Nous avons donc le produit de 33 réels. Il en résulte donc que pour tout entier naturel nn, le nombre complexe SnS_{n} est un nombre réel.
Question 4

Il existe une infinité d’entiers naturels nn tels que Sn=0S_{n}=0.

Correction
La proposition est vraie.\purple{\text{La proposition est vraie.}}
Sn=0S_{n} =0 équivaut successivement à :
2(2)n×cos(nπ4)=02\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=0
cos(nπ4)=02(2)n\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\frac{0}{2\left(\sqrt{2} \right)^{n}}
cos(nπ4)=0\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=0
cos(nπ4)=cos(π2)\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)
cos(a)=cos(b){a=b+2kπoua=b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos(nπ4)=cos(π2){nπ4=π2+2kπounπ4=π2+2kπ\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{n\pi }{4} } & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{n\pi }{4} } & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
On divise les égalités par π\pi, cela nous donne :

cos(nπ4)=cos(π2){n4=12+2koun4=12+2k\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{n}{4} } & {=} & {\frac{1 }{2} +2k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{n }{4} } & {=} & {-\frac{1 }{2} +2k } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.

cos(nπ4)=cos(π2){n=42+2×4koun=42+2×4k\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {n } & {=} & {\frac{4 }{2} +2\times4k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {n} & {=} & {-\frac{4 }{2} +2\times4k } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.

cos(nπ4)=cos(π2){n=2+8koun=2+8k\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {n } & {=} & {2+8k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {n} & {=} & {-2+8k } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
Soit kZk\in \mathbb{Z}. Lorsque n=2+8kn=2+8k ou lorsque n=2+8kn=-2+8k alors Sn=0S_{n}=0.
Donc il y a bien une infinité de valeurs pour lesquelles Sn=0S_{n}=0.