Exercices types : $2$^ème partie

$z_{A}^{'} =\frac{2z_{A} -1}{z_{A} -5}$
$z_{A}^{'} =\frac{2\left(6-4i\right)-1}{6-4i-5}$
$z_{A}^{'} =\frac{12-8i-1}{1-4i}$
$z_{A}^{'} =\frac{11-8i}{1-4i}$
$z_{A}^{'} =\frac{\left(11-8i\right)\left(1+4i\right)}{\left(1-4i\right)\left(1+4i\right)}$
$z_{A}^{'} =\frac{11+44i-8i-32i^{2} }{1^{2} +4^{2} }$
$z_{A}^{'} =\frac{11+44i-8i+32}{17}$
$z_{A}^{'} =\frac{43+36i}{17}$

Notons $z_{1}=1+i$ et $z_{2}=1-i$.
$\red{\text{ Calcul du module et argument de}}$ $\red{1+i}$
$\left|z_{1} \right|=\left|1+i\right|=\left(\sqrt{1^{2} +1^{2} } \right)=\sqrt{2}$
L'argument de $z_{1} =1+i$ est donné par $\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$
L'écriture trigonométrique de $z_{1}$ est alors
L'écriture exponentielle de $z_{1}$ est alors
Nous remarquons que $z_{2}$ est le conjugué de $z_{1}$.
Il en résulte donc que :
L'écriture exponentielle de $z_{2}$ est alors
L'écriture trigonométrique de $z_{2}$ est alors
On peut simplifier cette écriture sous la forme $z_{2} =\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\right)$

On rappelle que d'après la question $1$ , on sait que : $1+i=\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} }$ et $1-i=\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} }$
$S_{n}=\left(1+i\right)^{n} +\left(1-i\right)^{n}$ équivaut successivement à :
$S_{n} =\left(\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{n} +\left(\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{n}$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{n} +\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{-i\frac{\pi }{4} } \right)^{n}$$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{n\pi }{4} } \right)+\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{-i\frac{n\pi }{4} } \right)$
$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(e^{i\frac{n\pi }{4} } +e^{-i\frac{n\pi }{4} } \right)$
$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)+\cos \left(-\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{4} \right)\right)$
$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)+i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)+\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)-i\sin \left(\frac{n\pi }{4} \right)\right)$
$S_{n} =\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \left(2\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)\right)$

$\purple{\text{La proposition est vraie.}}$
D'après la question $2$, nous savons que $S_{n} =2\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)$.
Or $2$ est un réel et $\left(\sqrt{2} \right)^{n}$ est également un réel.
De plus, $-1\le \cos \left(n\frac{\pi }{4} \right)\le 1$. Cela signifie donc que $\cos \left(n\frac{\pi }{4} \right)$ est aussi un réel.
Nous avons donc le produit de $3$ réels. Il en résulte donc que pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_{n}$ est un nombre réel.

$\purple{\text{La proposition est vraie.}}$
$S_{n} =0$ équivaut successivement à :
$2\left(\sqrt{2} \right)^{n} \times \cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=0$
$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\frac{0}{2\left(\sqrt{2} \right)^{n}}$
$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=0$
$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)$
$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{n\pi }{4} } & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{n\pi }{4} } & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
On divise les égalités par $\pi$, cela nous donne :

$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {\frac{n}{4} } & {=} & {\frac{1 }{2} +2k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {\frac{n }{4} } & {=} & {-\frac{1 }{2} +2k } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {n } & {=} & {\frac{4 }{2} +2\times4k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {n} & {=} & {-\frac{4 }{2} +2\times4k } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

$\cos \left(\frac{n\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {n } & {=} & {2+8k } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {n} & {=} & {-2+8k } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Soit $k\in \mathbb{Z}$. Lorsque $n=2+8k$ ou lorsque $n=-2+8k$ alors $S_{n}=0$.
Donc il y a bien une infinité de valeurs pour lesquelles $S_{n}=0$.

$\left|j \right|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|j \right|=1$
On a donc $\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3}}{2} } \end{array}\right.$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $\theta =\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]$

L'écriture trigonométrique de $j$ est alors

$j = \cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)$

L'écriture exponentielle de $j$ est alors

$j = e^{i\frac{2\pi }{3} }$

$a'=aj\Leftrightarrow a'=-4j\Leftrightarrow a'=-4\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$ . L'écriture algébrique de $a'$ est :

$a'=2-2i\sqrt{3}$

$a'=aj\Leftrightarrow a'=-4j\Leftrightarrow a'=-4e^{\frac{2i\pi }{3} } \Leftrightarrow a'=4\times \left(-1\right)\times e^{\frac{2i\pi }{3} } \Leftrightarrow a'=4\times e^{i\pi } \times e^{\frac{2i\pi }{3} } \Leftrightarrow a'=4e^{i\left(\pi +\frac{2\pi }{3} \right)}$
Finalement l'écriture exponentielle de $a'$ est : (mesure principale de l'argument)

$b'=jb\Leftrightarrow b'=2j\Leftrightarrow b'=2\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$ . L'écriture algébrique de $b'$ est :

$b'=-1+i\sqrt{3}$

$b'=jb\Leftrightarrow b'=2j\Leftrightarrow b'=2e^{\frac{2i\pi }{3} }$
Finalement l'écriture exponentielle de $b'$ est :

$c'=jc\Leftrightarrow c'=4j\Leftrightarrow c'=4\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)$ . L'écriture algébrique de $c'$ est :

$c'=-2+2i\sqrt{3}$

$c'=jc\Leftrightarrow c'=4j\Leftrightarrow c'=4e^{\frac{2i\pi }{3} }$
Finalement l'écriture exponentielle de $c'$ est :

$\left|a'\right|=4$ donc $A'$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ (cercle vert) et on a :

$Re\left(a'\right)= 2$ et $Im\left(a'\right)<0$, on peut donc placer $A'$.

$\left|b'\right|=2$ donc $B'$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ (cercle rouge) et on a :

$Re\left(b'\right)= -1$ et $Im\left(b'\right)>0$, on peut donc placer $B'$.

$\left|c'\right|=4$ donc $C'$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ (cercle vert) et on a :

$Re\left(c'\right)= -2$ et $Im\left(c'\right)>0$, on peut donc placer $C'$.

On vérifie facilement que $a'=-c'$ . Cela signifie que les points $A'$ et $C'$ sont symétriques par rapport au point $O$. Donc les points $A'$ , $O$ et $C'$ sont alignés.

De plus, $\arg \left(b'\right)=\arg \left(c'\right)=\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]$ . Cela signifie donc les vecteurs $\overrightarrow{OB'}$ et $\overrightarrow{OC'}$ sont colinéaires. Donc les points $O$, $B'$ et $C'$ sont alignés.

Nous venons de démontrer que les points $A'$ , $O$ et $C'$ sont alignés et que les points $O$, $B'$ et $C'$ sont alignés.
Il en résulte donc que les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés.

Nous allons dans un premier temps calculer les affixes des points $M$, $N$ et $P$. On les note respectivement $m$, $n$ et $p$.
$m=\frac{a'+c}{2} =\frac{2-2i\sqrt{3} +4}{2} =3-i\sqrt{3}$
$n=\frac{c'+c}{2} =\frac{-2+2i\sqrt{3} +4}{2} =1+i\sqrt{3}$
$p=\frac{c'+a}{2} =\frac{-2+2i\sqrt{3} -4}{2} =-3+i\sqrt{3}$
Nous plaçons les points sur le repère, pour nous donner une idée, quant à la nature du triangle MNP.
$MNP$ semble isocèle en $N$ d’après le dessin.

$MN=\left|n-m\right|=\left|1+i\sqrt{3} -\left(3-i\sqrt{3} \right)\right|=\left|-2+2i\sqrt{3} \right|=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +\left(2\sqrt{3} \right)^{2} } =4$

$PN=\left|n-p\right|=\left|1+i\sqrt{3} -\left(-3+i\sqrt{3} \right)\right|=\left|4\right|=\sqrt{4^{2} } =4$

Nous avons bien $MN=PN$. Le triangle $MNP$ est donc bien isocèle en $N$ .