Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i et 1−i.
Correction
Notons z1=1+i et z2=1−i. Calcul du module et argument de1+i ∣z1∣=∣1+i∣=(12+12)=2 L'argument de z1=1+i est donné par {cos(θ)sin(θ)==21=2221=22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=4π[2π]
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
L'écriture trigonométrique de z1 est alors
z1=2(cos(4π)+isin(4π))
L'écriture exponentielle de z1 est alors
z1=2ei4π
Nous remarquons que z2 est le conjugué de z1.
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z. On note z le conjugué de z.
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣e−iθ
Il en résulte donc que : L'écriture exponentielle de z2 est alors
z2=2e−i4π
L'écriture trigonométrique de z2 est alors
z2=2(cos(4−π)+isin(4−π))
On peut simplifier cette écriture sous la forme z2=2(cos(4π)−isin(4π))
cos(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x)
Pour tout entier naturel n, on pose Sn=(1+i)n+(1−i)n.
2
Déterminer la forme trigonométrique de Sn.
Correction
On rappelle que d'après la question 1 , on sait que : 1+i=2ei4π et 1−i=2e−i4π Sn=(1+i)n+(1−i)n équivaut successivement à : Sn=(2ei4π)n+(2e−i4π)n
Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
3
Pour tout entier naturel n, le nombre complexe Sn est un nombre réel.
Correction
La proposition est vraie. D'après la question 2, nous savons que Sn=2(2)n×cos(4nπ). Or 2 est un réel et (2)n est également un réel. De plus, −1≤cos(n4π)≤1. Cela signifie donc que cos(n4π) est aussi un réel. Nous avons donc le produit de 3 réels. Il en résulte donc que pour tout entier naturel n, le nombre complexe Sn est un nombre réel.
4
Il existe une infinité d’entiers naturels n tels que Sn=0.
Correction
La proposition est vraie. Sn=0 équivaut successivement à : 2(2)n×cos(4nπ)=0 cos(4nπ)=2(2)n0 cos(4nπ)=0 cos(4nπ)=cos(2π)
cos(a)=cos(b)⇔⎩⎨⎧aa=ou=b+2kπ−b+2kπ avec k∈Z. Ce sont les solutions sur R.
cos(4nπ)=cos(2π)⇔⎩⎨⎧4nπ4nπ=ou=2π+2kπ−2π+2kπ avec k∈Z. On divise les égalités par π, cela nous donne :
cos(4nπ)=cos(2π)⇔⎩⎨⎧4n4n=ou=21+2k−21+2k avec k∈Z.
cos(4nπ)=cos(2π)⇔⎩⎨⎧nn=ou=24+2×4k−24+2×4k avec k∈Z.
cos(4nπ)=cos(2π)⇔⎩⎨⎧nn=ou=2+8k−2+8k avec k∈Z. Soit k∈Z. Lorsque n=2+8k ou lorsque n=−2+8k alors Sn=0. Donc il y a bien une infinité de valeurs pour lesquelles Sn=0.
Exercice 3
COMPETENCES:1°)Repreˊsenter.2°)Calculer.3°)Raisonner.4°)Communiquer. On note C l'ensemble des nombres complexes. On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O,u,v). Les points A, B et C ont pour affixes respectives a=−4, b=2 et c=4.
On considère les trois points A′, B′ et C′ d’affixes respectives a′=ja, b′=jb et c′=jc où j est le nombre complexe −21+i23 .
1
Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
L'écriture exponentielle de z est alors z=∣z∣eiθ
∣j∣=(−21)2+(23)2⇔∣j∣=1 On a donc {cos(θ)sin(θ)==−2123 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=32π[2π]
L'écriture trigonométrique de j est alors
j=cos(32π)+isin(32π)
L'écriture exponentielle de j est alors
j=ei32π
2
En déduire les formes algébriques et exponentielles de a′, b′ et c′.
Correction
eiπ=−1
a′=aj⇔a′=−4j⇔a′=−4(−21+i23) . L'écriture algébrique de a′ est :
a′=2−2i3
a′=aj⇔a′=−4j⇔a′=−4e32iπ⇔a′=4×(−1)×e32iπ⇔a′=4×eiπ×e32iπ⇔a′=4ei(π+32π) Finalement l'écriture exponentielle de a′ est :
a′=4ei35π=4e−i3π
(mesure principale de l'argument)
b′=jb⇔b′=2j⇔b′=2(−21+i23) . L'écriture algébrique de b′ est :
b′=−1+i3
b′=jb⇔b′=2j⇔b′=2e32iπ Finalement l'écriture exponentielle de b′ est :
b′=2ei32π
c′=jc⇔c′=4j⇔c′=4(−21+i23) . L'écriture algébrique de c′ est :
c′=−2+2i3
c′=jc⇔c′=4j⇔c′=4e32iπ Finalement l'écriture exponentielle de c′ est :
c′=4ei32π
Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique ci-dessous.
3
Placer les points A′, B′ et C′ sur ce graphique.
Correction
∣a′∣=4 donc A′ est sur le cercle de centre O et de rayon 4 (cercle vert) et on a :
Re(a′)=2 et Im(a′)<0, on peut donc placer A′.
∣b′∣=2 donc B′ est sur le cercle de centre O et de rayon 2 (cercle rouge) et on a :
Re(b′)=−1 et Im(b′)>0, on peut donc placer B′.
∣c′∣=4 donc C′ est sur le cercle de centre O et de rayon 4 (cercle vert) et on a :
Re(c′)=−2 et Im(c′)>0, on peut donc placer C′.
4
Montrer que les points A′, B′ et C′ sont alignés.
Correction
On vérifie facilement que a′=−c′ . Cela signifie que les points A′ et C′ sont symétriques par rapport au point O. Donc les points A′ , O et C′ sont alignés.
De plus, arg(b′)=arg(c′)=32π[2π] . Cela signifie donc les vecteurs OB′ et OC′ sont colinéaires. Donc les points O, B′ et C′ sont alignés.
Nous venons de démontrer que les points A′ , O et C′ sont alignés et que les points O, B′ et C′ sont alignés. Il en résulte donc que les points A′, B′ et C′ sont alignés.
On note M le milieu du segment [A′C], N le milieu du segment [C′C] et P le milieu du segment [C′A].
5
Démontrer que le triangle MNP est isocèle.
Correction
Nous allons dans un premier temps calculer les affixes des points M, N et P. On les note respectivement m, n et p. m=2a′+c=22−2i3+4=3−i3 n=2c′+c=2−2+2i3+4=1+i3 p=2c′+a=2−2+2i3−4=−3+i3 Nous plaçons les points sur le repère, pour nous donner une idée, quant à la nature du triangle MNP.
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