Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+e^{\frac{4i\pi }{5}}+e^{\frac{6i\pi }{5}}+e^{\frac{8i\pi }{5}}$$ équivaut successivement à :
$$S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+e^{\frac{2i\pi \times 2}{5}}+e^{\frac{2i\pi \times 3}{5}}+e^{\frac{2i\pi \times 4}{5}}$$
$$S=1+e^{\frac{2i\pi }{5}}+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^2+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^3+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^4$$
$$S={\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^0+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^1+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^2+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^3+{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^4$$
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=e^{\frac{2i\pi }{5}}$$ et de premier terme qui vaut $$1$$ . La somme est composée de $$5$$ termes.
Il vient alors :
$$S=\frac{1-{\left(e^{\frac{2i\pi }{5}}\right)}^5}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}$$
$$S=\frac{1-e^{\frac{2i\pi \times 5}{5}}}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}$$
$$S=\frac{1-e^{2i\pi }}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}$$
$$S=\frac{1-\left({\mathrm{cos} \left(2\pi \right)\ }-{\mathrm{sin} \left(2\pi \right)\ }\right)}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}$$
$$S=\frac{1-\left(1-0\right)}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}$$
$$S=\frac{0}{1-e^{\frac{2i\pi }{5}}}$$
Ainsi :