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Nombres complexes : point de vue géométrique
Exercices types :
1
1
1
ère
partie - Exercice 3
10 min
25
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
1
°
)
C
a
l
c
u
l
e
r
.
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}
COMPETENCES
:
1°
)
C
a
l
c
u
l
er
.
Question 1
Soit
x
x
x
un réel.
Lina affime que
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
0
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=0
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
0
. A-t-elle raison ? Justifier.
Correction
Les formules d’Euler
\red{\text{Les formules d'Euler}}
Les formules d’Euler
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
x
)
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
et
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
x
)
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
Soit
a
{\color{red}{a}}
a
un réel. Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
, on a :
cos
(
a
x
)
=
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
2
\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}
cos
(
a
x
)
=
2
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
et
sin
(
a
x
)
=
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
2
i
\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
sin
(
a
x
)
=
2
i
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
2
(
e
i
x
2
+
e
−
i
x
2
2
)
2
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\left(\frac{e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } }{2} \right)^{2} +1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
2
(
2
e
i
2
x
+
e
−
i
2
x
)
2
+
1
équivaut successivement à :
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
2
(
e
i
x
2
+
e
−
i
x
2
)
2
2
2
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2^{2} } +1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
2
2
2
(
e
i
2
x
+
e
−
i
2
x
)
2
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
2
(
e
i
x
2
+
e
−
i
x
2
)
2
4
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{4} +1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
2
4
(
e
i
2
x
+
e
−
i
2
x
)
2
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
(
e
i
x
2
+
e
−
i
x
2
)
2
2
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2} +1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
2
(
e
i
2
x
+
e
−
i
2
x
)
2
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
(
(
e
i
x
2
)
2
+
2
e
i
x
2
×
e
−
i
x
2
+
(
e
−
i
x
2
)
2
2
)
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } \right)^{2} +2e^{i\frac{x}{2} } \times e^{-i\frac{x}{2} } +\left(e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2} \right)+1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
2
(
e
i
2
x
)
2
+
2
e
i
2
x
×
e
−
i
2
x
+
(
e
−
i
2
x
)
2
)
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
(
e
i
x
2
×
2
+
2
e
i
x
2
+
(
−
i
x
2
)
+
e
−
i
x
2
×
2
2
)
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{i\frac{x}{2} \times 2} +2e^{i\frac{x}{2} +\left(-i\frac{x}{2} \right)} +e^{-i\frac{x}{2} \times 2} }{2} \right)+1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
2
e
i
2
x
×
2
+
2
e
i
2
x
+
(
−
i
2
x
)
+
e
−
i
2
x
×
2
)
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
(
e
i
x
+
2
e
0
+
e
−
i
x
2
)
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2e^{0} +e^{-ix} }{2} \right)+1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
2
e
i
x
+
2
e
0
+
e
−
i
x
)
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
(
e
i
x
+
2
+
e
−
i
x
2
)
+
1
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2+e^{-ix} }{2} \right)+1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
2
e
i
x
+
2
+
e
−
i
x
)
+
1
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
−
(
e
i
x
+
2
+
e
−
i
x
2
)
+
2
2
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2+e^{-ix} }{2} \right)+\frac{2}{2}
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
2
e
i
x
+
2
+
e
−
i
x
)
+
2
2
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
e
i
x
+
2
+
e
−
i
x
)
+
2
2
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} -\left(e^{ix} +2+e^{-ix} \right)+2}{2}
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
(
e
i
x
+
2
+
e
−
i
x
)
+
2
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
e
i
x
+
e
−
i
x
−
e
i
x
−
2
−
e
−
i
x
+
2
2
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} -e^{ix} -2-e^{-ix} +2}{2}
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
−
e
i
x
−
2
−
e
−
i
x
+
2
Finalement :
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
x
2
)
+
1
=
0
\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=0
cos
(
x
)
−
2
cos
2
(
2
x
)
+
1
=
0
Lina a donc bien raison .
\text{\purple{Lina a donc bien raison .}}
Lina a donc bien raison .