Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

10 min
25
COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}
Question 1

Soit xx un réel.
Lina affime que cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=0\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=0 . A-t-elle raison ? Justifier.

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−2(eix2+e−ix22)2+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\left(\frac{e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } }{2} \right)^{2} +1 équivaut successivement à :
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−2(eix2+e−ix2)222+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2^{2} } +1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−2(eix2+e−ix2)24+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{4} +1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−(eix2+e−ix2)22+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2} +1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−((eix2)2+2eix2×e−ix2+(e−ix2)22)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } \right)^{2} +2e^{i\frac{x}{2} } \times e^{-i\frac{x}{2} } +\left(e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2} \right)+1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−(eix2×2+2eix2+(−ix2)+e−ix2×22)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{i\frac{x}{2} \times 2} +2e^{i\frac{x}{2} +\left(-i\frac{x}{2} \right)} +e^{-i\frac{x}{2} \times 2} }{2} \right)+1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−(eix+2e0+e−ix2)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2e^{0} +e^{-ix} }{2} \right)+1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−(eix+2+e−ix2)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2+e^{-ix} }{2} \right)+1
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix2−(eix+2+e−ix2)+22\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2+e^{-ix} }{2} \right)+\frac{2}{2}
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix−(eix+2+e−ix)+22\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} -\left(e^{ix} +2+e^{-ix} \right)+2}{2}
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=eix+e−ix−eix−2−e−ix+22\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} -e^{ix} -2-e^{-ix} +2}{2}
    Finalement :
    cos⁡(x)−2cos⁡2(x2)+1=0\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=0

    Lina a donc bien raison .\text{\purple{Lina a donc bien raison .}}

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.