Nombres complexes : point de vue géométrique

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

10 min
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COMPETENCES  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}
Question 1

Soit xx un réel.
Lina affime que cos(x)2cos2(x2)+1=0\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=0 . A-t-elle raison ? Justifier.

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout xR{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos(x)=eix+eix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin(x)=eixeix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout xR{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos(ax)=eiax+eiax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin(ax)=eiaxeiax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix22(eix2+eix22)2+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\left(\frac{e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } }{2} \right)^{2} +1 équivaut successivement à :
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix22(eix2+eix2)222+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2^{2} } +1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix22(eix2+eix2)24+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -2\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{4} +1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix2(eix2+eix2)22+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } +e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2} +1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix2((eix2)2+2eix2×eix2+(eix2)22)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{\left(e^{i\frac{x}{2} } \right)^{2} +2e^{i\frac{x}{2} } \times e^{-i\frac{x}{2} } +\left(e^{-i\frac{x}{2} } \right)^{2} }{2} \right)+1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix2(eix2×2+2eix2+(ix2)+eix2×22)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{i\frac{x}{2} \times 2} +2e^{i\frac{x}{2} +\left(-i\frac{x}{2} \right)} +e^{-i\frac{x}{2} \times 2} }{2} \right)+1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix2(eix+2e0+eix2)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2e^{0} +e^{-ix} }{2} \right)+1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix2(eix+2+eix2)+1\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2+e^{-ix} }{2} \right)+1
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix2(eix+2+eix2)+22\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} -\left(\frac{e^{ix} +2+e^{-ix} }{2} \right)+\frac{2}{2}
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eix(eix+2+eix)+22\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} -\left(e^{ix} +2+e^{-ix} \right)+2}{2}
    cos(x)2cos2(x2)+1=eix+eixeix2eix+22\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=\frac{e^{ix} +e^{-ix} -e^{ix} -2-e^{-ix} +2}{2}
    Finalement :
    cos(x)2cos2(x2)+1=0\cos \left(x\right)-2\cos ^{2} \left(\frac{x}{2} \right)+1=0

    Lina a donc bien raison .\text{\purple{Lina a donc bien raison .}}