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Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}     \;\;3°)  Raisonner.{\color{red}3°)\;Raisonner.}     \;\;4°)  Communiquer.{\color{red}4°)\;Communiquer.}
Question 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
On note AA le point d'affixe 2+3i2+3i et BB celui d'affixe −4+5i-4+5i.
A tout point MM d'affixe zz autre que BB, on associe le nombre complexe : Z′=z−2−3iz+4−5iZ'=\frac{z-2-3i}{z+4-5i}.

Donner une signification géométrique de ∣Z′∣\left|Z'\right| à l'aide des points AA, BB et MM.

Correction
  • ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
    • ∣Z′∣=∣z−2−3iz+4−5i∣\left|Z'\right|=\left|\frac{z-2-3i}{z+4-5i}\right| équivaut successivement à :
    ∣Z′∣=∣z−2−3i∣∣z+4−5i∣\left|Z'\right|=\frac{\left|z-2-3i\right|}{\left|z+4-5i\right|}
    Or , on sait que l'on a AA le point d'affixe 2+3i2+3i et BB celui d'affixe −4+5i-4+5i. Ainsi :
    ∣Z′∣=∣z−zA∣∣z−zB∣\left|Z'\right|=\frac{\left|z-z_{A}\right|}{\left|z-z_{B}\right|}. Or : ∣z−zA∣\left|z-z_{A}\right| correspond à la distance AMAM et ∣z−zB∣\left|z-z_{B}\right| correspond à la distance BMBM.
    Il vient alors que :
    ∣Z′∣=AMBM\left|Z'\right|=\frac{AM}{BM}

    Donc le module de Z′Z' correspond au rapport des distances des segments [AM]\left[AM\right] et [BM]\left[BM\right].
    Question 2

    Donner une signification géométrique de arg⁡(Z′)\arg \left(Z'\right) à l'aide des points AA, BB et MM.

    Correction
  • D'après le cours on sait que : arg⁡(zA−zBzC−zD)=(DC→;BA→)\arg \left(\frac{z_{A} -z_{B} }{z_{C} -z_{D} } \right)=\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{BA} \right)
    • arg⁡(z−2−3iz+4−5i)=arg⁡(z−zAz−zB)\arg \left(\frac{z-2-3i}{z+4-5i} \right)=\arg \left(\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}} \right) équivaut successivement à :
    arg⁡(z−2−3iz+4−5i)=arg⁡(zA−zzB−z)\arg \left(\frac{z-2-3i}{z+4-5i} \right)=\arg \left(\frac{z_{A}-z}{z_{B}-z} \right) . En effet : z−zAz−zB=−(z−zA)−(z−zB)=zA−zzB−z\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}=\frac{-\left(z-z_{A}\right)}{-\left(z-z_{B}\right)}=\frac{z_{A}-z}{z_{B}-z}
    Ainsi :
    arg⁡(z−2−3iz+4−5i)=(MB→;MA→)\arg \left(\frac{z-2-3i}{z+4-5i} \right)=\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)
    La signification de arg⁡(Z′)\arg \left(Z'\right) est l'angle orienté :
    (MB→;MA→)\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)
    Question 3
    Déterminer les ensembles suivants :

    EE l'ensemble des points MM tels que ∣Z′∣=1\left|Z'\right|=1.

    Correction
    On a vu à la question 11 que : ∣Z′∣=AMBM\left|Z'\right|=\frac{AM}{BM}
    Ainsi :
    ∣Z′∣=1\left|Z'\right|=1 équivaut successivement à :
    AMBM=1\frac{AM}{BM}=1
    AM=BMAM=BM
    L'ensemble EE des points MM tels que ∣Z′∣=1\left|Z'\right|=1 est la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right].
    Question 4

    FF l'ensemble des points MM tels que Z′Z' est un réel strictement positif.

    Correction
    Z′Z' est un réel strictement positif signifie que arg⁡(Z′)=0\arg \left(Z'\right)=0 [2π]\left[2\pi \right]
    Or, d'après la question 22, on a vu que : arg⁡(Z′)=(MB→;MA→)\arg \left(Z' \right)=\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)
    Il en résulte donc que :
    arg⁡(Z′)=0\arg \left(Z'\right)=0 [2π]\left[2\pi \right] équivaut successivement à :
    (MB→;MA→)=0\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)=0 [2π]\left[2\pi \right] . Cela signifie que les points AA, BB et MM sont alignés.
    L'ensemble FF des points MM tels que Z′Z' est un réel strictement positif est la demi-droite [BA)\left[BA\right).
    Question 5

    GG l'ensemble des points MM tels que Z′Z' est un imaginaire pur non nul.

    Correction
    Z′Z' est un imaginaire pur non nul ainsi arg⁡(Z′)=π2\arg \left(Z'\right)=\frac{\pi}{2} [π]\left[\pi \right].
    Or, d'après la question 22, on a vu que : arg⁡(Z′)=(MB→;MA→)\arg \left(Z' \right)=\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)
    Il en résulte donc que :
    arg⁡(Z′)=π2\arg \left(Z'\right)=\frac{\pi}{2} [π]\left[\pi \right] équivaut successivement à :
    (MB→;MA→)=π2\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)=\frac{\pi}{2} [2π]\left[2\pi \right] . Cela signifie que les points AA, BB et MM forment un triangle rectangle.
    L'ensemble GG des points MM tels que Z′Z' est un imaginaire pur non nul est le triangle AMBAMB rectangle en MM.

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