Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

$$\left|Z'\right|=\left|\frac{z-2-3i}{z+4-5i}\right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|Z'\right|=\frac{\left|z-2-3i\right|}{\left|z+4-5i\right|}$$
Or, on sait que l'on a $$A$$ le point d'affixe $$2+3i$$ et $$B$$ celui d'affixe $$-4+5i$$. Ainsi :
$$\left|Z'\right|=\frac{\left|z-z_{A}\right|}{\left|z-z_{B}\right|}$$. Or : $$\left|z-z_{A}\right|$$ correspond à la distance $$AM$$ et $$\left|z-z_{B}\right|$$ correspond à la distance $$BM$$.
Il vient alors que :
Donc le module de $$Z'$$ correspond au rapport des distances des segments $$\left[AM\right]$$ et $$\left[BM\right]$$.

$$\arg \left(\frac{z-2-3i}{z+4-5i} \right)=\arg \left(\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}} \right)$$ équivaut successivement à :
$$\arg \left(\frac{z-2-3i}{z+4-5i} \right)=\arg \left(\frac{z_{A}-z}{z_{B}-z} \right)$$ . En effet : $$\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}=\frac{-\left(z-z_{A}\right)}{-\left(z-z_{B}\right)}=\frac{z_{A}-z}{z_{B}-z}$$
Ainsi :
$$\arg \left(\frac{z-2-3i}{z+4-5i} \right)=\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)$$
La signification de $$\arg \left(Z'\right)$$ est l'angle orienté :

On a vu à la question $$1$$ que : $$\left|Z'\right|=\frac{AM}{BM}$$
Ainsi :
$$\left|Z'\right|=1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{AM}{BM}=1$$
$$AM=BM$$
L'ensemble $$E$$ des points $$M$$ tels que $$\left|Z'\right|=1$$ est la médiatrice du segment $$\left[AB\right]$$.

$$Z'$$ est un réel strictement positif signifie que $$\arg \left(Z'\right)=0$$ $$\left[2\pi \right]$$
Or, d'après la question $$2$$, on a vu que : $$\arg \left(Z' \right)=\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)$$
Il en résulte donc que :
$$\arg \left(Z'\right)=0$$ $$\left[2\pi \right]$$ équivaut successivement à :
$$\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)=0$$ $$\left[2\pi \right]$$ . Cela signifie que les vecteurs $$\overrightarrow{MB}$$ et $$\overrightarrow{MA}$$ sont colinéaires et de même sens : le point $$M$$ est sur la droite $$\left(AB\right)$$ , mais pas entre $$A$$ et $$B$$ (entre $$A$$ et $$B$$ , les deux vecteurs seraient de sens contraires). De plus $$M\ne A$$ (sinon $$Z'=0$$ ) et $$M\ne B$$ (valeur interdite).
L'ensemble $$F$$ des points $$M$$ tels que $$Z'$$ est un réel strictement positif est la droite $$\left(AB\right)$$ privée du segment $$\left[AB\right]$$ .

$$Z'$$ est un imaginaire pur non nul ainsi $$\arg \left(Z'\right)=\frac{\pi}{2}$$ $$\left[\pi \right]$$.
Or, d'après la question $$2$$, on a vu que : $$\arg \left(Z' \right)=\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)$$
Il en résulte donc que :
$$\arg \left(Z'\right)=\frac{\pi}{2}$$ $$\left[\pi \right]$$ équivaut successivement à :
$$\left(\overrightarrow{MB} ;\overrightarrow{MA} \right)=\frac{\pi}{2}$$ $$\left[\pi \right]$$ . Cela signifie que les droites $$\left(MA\right)$$ et $$\left(MB\right)$$ sont perpendiculaires, avec $$M\ne A$$ et $$M\ne B$$ : le triangle $$AMB$$ est rectangle en $$M$$ , donc $$M$$ appartient au cercle de diamètre $$\left[AB\right]$$ .
Ce cercle a pour centre le milieu $$I$$ de $$\left[AB\right]$$ , d'affixe $$\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}=-1+4i$$ , et pour rayon $$\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\left|-6+2i\right|}{2}=\dfrac{\sqrt{40}}{2}=\sqrt{10}$$ .
L'ensemble $$G$$ des points $$M$$ tels que $$Z'$$ est un imaginaire pur non nul est le cercle de diamètre $$\left[AB\right]$$ privé des points $$A$$ et $$B$$ .