Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Commençons par calculer la forme algébrique de $$z_{1}$$.
$$z_{1}=\frac{3\sqrt{2} }{1+i}$$ équivaut successivement à :
$$z_{1} =\frac{3\sqrt{2} \times \left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\times \left(1-i\right)}$$
$$z_{1} =\frac{3\sqrt{2} -3\sqrt{2} i}{1^{2} +1^{2} }$$
$$z_{1} =\frac{3\sqrt{2} -3\sqrt{2} i}{2}$$
Ainsi :
Maintenant, calculons la forme algébrique de $$z_{2}$$.
$$z_{2}=\frac{4i}{1+i\sqrt{3} }$$
$$z_{2} =\frac{4i\times \left(1-i\sqrt{3} \right)}{\left(1+i\sqrt{3} \right)\times \left(1-i\sqrt{3} \right)}$$
$$z_{2} =\frac{4i-4i^{2} \times \sqrt{3} }{1^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} }$$
$$z_{2} =\frac{4i+4\sqrt{3} }{4}$$
Ainsi :

Nous avons : $$z_{1} =\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i$$

Commençons, par le module de $$z_{1}$$.

$$\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2} }{2}\right)^{2} +\left(-\frac{3\sqrt{2} }{2}\right)^{2} }=3$$

Pour l'argument $$\theta$$ on sait que :

$$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie reelle de } z_{1}}{\text{module de } z_{1}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{1}}{\text{module de } z_{1} } } \end{array}\right.$$
On a donc : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(\frac{3\sqrt{2} }{2} \right)}{3} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(-\frac{3\sqrt{2} }{2} \right)}{3} } \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$
Il en résulte donc que :

Une forme trigonométrique de $$z_{1}$$ est alors :

$$z_{1}=3\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$$

Une forme exponentielle de $$z_{1}$$ est alors :

$$z_{1}=3e^{-i\frac{\pi }{4} }$$

Nous avons : $$z_{2} =\sqrt{3} +i$$

Commençons, par le module de $$z_{2}$$.

$$\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} +1^{2} }=2$$

Pour l'argument $$\theta$$ on sait que :

$$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{2}}{\text{module de } z_{2}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{2}}{\text{module de } z_{2} } } \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1 }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]$$
Il en résulte donc que :

Une forme trigonométrique de $$z_{2}$$ est alors :

$$z_{2}=2\left(\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)\right)$$

Une forme exponentielle de $$z_{2}$$ est alors :

$$z_{2}=2e^{i\frac{\pi }{6} }$$

$$Z=z_{1}\times z_{2}$$ équivaut successivement à :
$$Z=\left(\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i\right)\times \left(\sqrt{3} +i\right)$$
$$Z=\frac{3\sqrt{2} }{2} \times \sqrt{3} +\frac{3\sqrt{2} }{2} i-\frac{3\sqrt{2} }{2} i\times \sqrt{3} -\frac{3\sqrt{2} }{2} i^{2}$$
$$Z=\frac{3\sqrt{6} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} i-\frac{3\sqrt{6} }{2} i+\frac{3\sqrt{2} }{2}$$
$$Z=\frac{3\sqrt{6} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} i-\frac{3\sqrt{6} }{2} i$$
$$Z=\frac{3\sqrt{6} }{2} +\frac{3\sqrt{2} }{2} +i\left(\frac{3\sqrt{2} }{2} -\frac{3\sqrt{6} }{2} \right)$$
$$Z=\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2} }{2} +i\left(\frac{3\sqrt{2}-3\sqrt{6} }{2}\right)$$
Finalement :

Calcul du module de $$Z$$ :
$$\left|Z\right|=\left|z_{1} \times z_{2} \right|$$ équivaut successivement à :
$$\left|Z\right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|$$
$$\left|Z\right|=3\times 2$$

Calcul d'un argument de $$Z$$ :
$$\arg \left(Z \right)=\arg \left(z_{1} z_{2} \right)$$
$$\arg \left(Z \right)=\arg \left(z_{1} \right)+\arg \left(z_{2} \right)$$
$$\arg \left(Z \right)=-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}$$

Une forme trigonométrique de $$Z$$ est alors :

$$Z=6\left(\cos \left(\frac{-\pi }{12} \right)+i\sin \left(\frac{-\pi }{12}\right)\right)$$

que l'on peut également écrire :

$$Z=6\left(\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)-i\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)\right)$$

Une forme exponentielle de $$Z$$ est alors :

$$Z=6e^{-i\frac{\pi }{12} }$$

Nous avons, d'une part, la forme algébrique de $$Z$$ qui est : $$Z={\color{blue}\frac{3\left(\sqrt{6} +\sqrt{2} \right)}{2}} +i{\color{red}\frac{3\left(\sqrt{2} -\sqrt{6} \right)}{2}}$$.

Nous avons, d'autre part, la forme trigonométrique de $$Z$$ qui est : $$Z=6\left(\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)-i\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)\right)$$ ou encore $$Z={\color{blue}6\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)}{\color{red}-6\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)}i$$

Cela signifie que les $${\color{blue}\text{parties réelles}}$$ sont égales et les $${\color{red}\text{parties imaginaires}}$$ sont égales, il vient alors que
et
Enfin :
et