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Nombres complexes : point de vue géométrique
Ensemble
U
\mathbb{U}
U
des complexes de module
1
1
1
- Exercice 1
6 min
10
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
C
a
l
c
u
l
e
r
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
Question 1
Les nombres complexes suivants appartiennent-ils à l'ensemble
U
\mathbb{U}
U
?
z
1
=
1
2
−
i
3
2
z_{1} =\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2}
z
1
=
2
1
−
i
2
3
Correction
On note
U
\mathbb{U}
U
l'ensemble des nombres complexes
z
z
z
tels que
∣
z
∣
=
1
\left|z\right|=1
∣
z
∣
=
1
. Dans le plan complexe,
U
\mathbb{U}
U
est représenté par le cercle de centre
O
O
O
et de rayon
1
1
1
.
∣
z
1
∣
=
(
1
2
)
2
+
(
−
3
2
)
2
\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} }
∣
z
1
∣
=
(
2
1
)
2
+
(
−
2
3
)
2
∣
z
1
∣
=
1
4
+
3
4
\left|z_{1} \right|=\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{3}{4} }
∣
z
1
∣
=
4
1
+
4
3
Ainsi :
∣
z
1
∣
=
1
\left|z_{1} \right|=1
∣
z
1
∣
=
1
Finalement
z
1
∈
U
z_{1} \in \mathbb{U}
z
1
∈
U
.
Question 2
z
2
=
6
4
−
i
5
2
2
z_{2} =\frac{\sqrt{6} }{4} -i\frac{\sqrt{5} }{2\sqrt{2} }
z
2
=
4
6
−
i
2
2
5
Correction
On note
U
\mathbb{U}
U
l'ensemble des nombres complexes
z
z
z
tels que
∣
z
∣
=
1
\left|z\right|=1
∣
z
∣
=
1
. Dans le plan complexe,
U
\mathbb{U}
U
est représenté par le cercle de centre
O
O
O
et de rayon
1
1
1
.
∣
z
2
∣
=
(
6
4
)
2
+
(
5
2
2
)
2
\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6} }{4} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{5} }{2\sqrt{2} } \right)^{2} }
∣
z
2
∣
=
(
4
6
)
2
+
(
2
2
5
)
2
∣
z
2
∣
=
3
8
+
5
8
\left|z_{2} \right|=\sqrt{\frac{3}{8} +\frac{5}{8} }
∣
z
2
∣
=
8
3
+
8
5
Ainsi :
∣
z
2
∣
=
1
\left|z_{2} \right|=1
∣
z
2
∣
=
1
Finalement
z
2
∈
U
z_{2} \in \mathbb{U}
z
2
∈
U
.
Question 3
z
3
=
1
3
+
i
6
3
z_{3} =\frac{1}{\sqrt{3} } +i\frac{\sqrt{6} }{3}
z
3
=
3
1
+
i
3
6
Correction
On note
U
\mathbb{U}
U
l'ensemble des nombres complexes
z
z
z
tels que
∣
z
∣
=
1
\left|z\right|=1
∣
z
∣
=
1
. Dans le plan complexe,
U
\mathbb{U}
U
est représenté par le cercle de centre
O
O
O
et de rayon
1
1
1
.
∣
z
3
∣
=
(
1
3
)
2
+
(
6
3
)
2
\left|z_{3} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3} } \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{6} }{3} \right)^{2} }
∣
z
3
∣
=
(
3
1
)
2
+
(
3
6
)
2
∣
z
3
∣
=
1
3
+
2
3
\left|z_{3} \right|=\sqrt{\frac{1}{3} +\frac{2}{3} }
∣
z
3
∣
=
3
1
+
3
2
Ainsi :
∣
z
3
∣
=
1
\left|z_{3} \right|=1
∣
z
3
∣
=
1
Finalement
z
3
∈
U
z_{3} \in \mathbb{U}
z
3
∈
U
.
Question 4
z
4
=
1
5
+
i
5
2
z_{4} =\frac{1}{5} +i\frac{\sqrt{5} }{2}
z
4
=
5
1
+
i
2
5
Correction
On note
U
\mathbb{U}
U
l'ensemble des nombres complexes
z
z
z
tels que
∣
z
∣
=
1
\left|z\right|=1
∣
z
∣
=
1
. Dans le plan complexe,
U
\mathbb{U}
U
est représenté par le cercle de centre
O
O
O
et de rayon
1
1
1
.
∣
z
4
∣
=
(
1
5
)
2
+
(
5
2
)
2
\left|z_{4} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{5} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{5} }{2} \right)^{2} }
∣
z
4
∣
=
(
5
1
)
2
+
(
2
5
)
2
∣
z
4
∣
=
1
25
+
5
4
\left|z_{4} \right|=\sqrt{\frac{1}{25} +\frac{5}{4} }
∣
z
4
∣
=
25
1
+
4
5
Ainsi :
∣
z
4
∣
=
129
100
\left|z_{4} \right|=\sqrt{\frac{129}{100} }
∣
z
4
∣
=
100
129
Finalement
z
4
∉
U
z_{4} \notin \mathbb{U}
z
4
∈
/
U
.