Nombres complexes : point de vue géométrique

Déterminer un argument d'un nombre complexe - Exercice 3

10 min
25
COMPETENCES‾  :  Repreˊsenter{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Représenter}
Question 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Déterminer et représenter graphiquement l'ensemble des points MM dont l'affixe vérifie la condition donnée.

arg⁡(z)=π4[2π]\arg \left(z\right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]

Correction
Soit MM un point d'affixe non nulle.
arg⁡(z)\arg \left(z\right) est la mesure en radians de l'angle (u→;OM→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM} \right)
Ainsi :
(u→;OM→)=π4[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
L'ensemble recherché est la demi-droite ]OA)\left]OA\right) . En effet, on introduit le point zA=1+iz_A=1+i car arg⁡(zA)=π4[2π]\arg \left(z_A\right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
Question 2

arg⁡(z‾)=π6[2π]\arg \left(\overline{z}\right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]

Correction
Soit MM un point d'affixe non nulle.
  • arg⁡(z)\arg \left(z\right) est la mesure en radians de l'angle (u→;OM→)\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM} \right)
  • arg⁡(z‾)=−arg⁡(z)\arg \left(\overline{z}\right)=-\arg \left(z\right)
    • arg⁡(z‾)=π6[2π]\arg \left(\overline{z}\right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right] équivaut successivement à :
    −arg⁡(z)=π6[2π]-\arg \left(z\right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    arg⁡(z)=−π6[2π]\arg \left(z\right)=-\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    Ainsi :
    (u→;OM→)=−π6[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM} \right)=-\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    L'ensemble recherché est la demi-droite ]OB)\left]OB\right) . En effet, on introduit le point zB=3−iz_B=\sqrt{3}-i car arg⁡(zB)=−π6[2π]\arg \left(z_B\right)=-\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    Question 3

    arg⁡(z+i)=−π3[2π]\arg \left(z+i\right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]

    Correction
    arg⁡(z+i)=−π3[2π]\arg \left(z+i\right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]
    arg⁡(z−(−i))=−π3[2π]\arg \left(z-\left(-i\right)\right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]
    On introduit le point zB=−iz_B=-i, il vient alors que :
    arg⁡(z−zB)=−π3[2π]\arg \left(z-z_{B} \right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]
    (u→;BM→)=−π3[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{BM} \right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]
    Question 4

    arg⁡(z+1)=5π6[2π]\arg \left(z+1\right)=\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]

    Correction
    arg⁡(z+1)=5π6[2π]\arg \left(z+1\right)=\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]
    arg⁡(z−(−1))=5π6[2π]\arg \left(z-\left(-1\right)\right)=\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]
    On introduit le point zA=−1z_A=-1, il vient alors que :
    arg⁡(z−zA)=5π6[2π]\arg \left(z-z_{A} \right)=\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]
    (u→;AM→)=5π6[2π]\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{AM} \right)=\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]