Déterminer un argument d'un nombre complexe - Exercice 2
15 min
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COMPETENCES:Calculer
Question 1
Donner le module et l'argument des nombres complexes suivants :
zA=(3+i)(−2+2i) on note z1=3+i et z2=−2+2i
Correction
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)
∣z1∣=∣∣3+i∣∣=((3)2+12)=2 ∣z2∣=∣−2+2i∣=((−2)2+22)=22 L'argument de z1=3+i est donné par {cos(θ)sin(θ)==2321 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=6π[2π] L'argument de z2=−2+2i est donné par {cos(θ)sin(θ)==22−2=2−2222=22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z2)=43π[2π] On a alors zA=(3+i)(−2+2i)=z1z2 ∣zA∣=∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=2×22 ainsi :
∣zA∣=42
arg(zA)=arg(z1z2) équivaut successivement à arg(zA)=arg(z1)+arg(z2) arg(zA)=6π+43π arg(zA)=122π+129π
arg(zA)=1211π[2π]
Question 2
zB=−3+i1+i on note z1=1+i et z2=−3+i
Correction
∣∣z2z1∣∣=∣z2∣∣z1∣
arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2)
∣z1∣=∣1+i∣=(12+12)=2 ∣z2∣=∣∣−3+i∣∣=((−3)2+12)=2 L'argument de z1=1+i est donné par {cos(θ)sin(θ)==21=2221=22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=4π[2π] L'argument de z2=−3+i est donné par {cos(θ)sin(θ)==2−321 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z2)=65π[2π] On a alors zB=−3+i1+i=z2z1 ∣zB∣=∣∣z2z1∣∣=∣z2∣∣z1∣=22 ainsi :
∣zB∣=22
arg(zB)=arg(z2z1) équivaut successivement à arg(zB)=arg(z1)−arg(z2) arg(zB)=4π−65π
arg(zB)=−127π[2π]
Question 3
zC=(−1+i3)4
Correction
∣(z1)n∣=∣z1∣n
arg((z1)n)=narg(z1)
On note z1=−1+i3. Ainsi ∣z1∣=(−1)2+(3)2=2 L'argument de z1=−3+i est donné par {cos(θ)sin(θ)==2−123 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=32π[2π] On a donc zC=(z1)4 Ainsi ∣zC∣=∣∣(z1)4∣∣=∣z1∣4=24 ainsi :
∣zC∣=16
De plus arg(zC)=arg((z1)4) équivaut successivement à arg(zC)=4arg(z1) arg(zC)=4×32π arg(zC)=38π[2π] On va donner maintenant la mesure principale de 38π. Or : 38π−2π=32π. Ainsi :
arg(zC)=32π[2π]
Question 4
zD=(1+i)2016
Correction
∣(z1)n∣=∣z1∣n
arg((z1)n)=narg(z1)
On note z1=1+i. Ainsi ∣z1∣=12+12=2 L'argument de z1=1+i est donné par {cos(θ)sin(θ)==21=2221=22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=4π[2π] On a donc zD=(z1)2016 Ainsi ∣zD∣=∣∣(z1)2016∣∣=∣z1∣2016=(2)2016 De plus arg(zD)=arg((z1)2016) équivaut successivement à arg(zD)=2016×arg(z1) arg(zD)=2016×4π arg(zD)=504π[2π] On va donner maintenant la mesure principale de 504π. Or: 504π=252×2π. Autrement dit la mesure principale de 504π est de 0 Ainsi :
arg(zD)=0[2π]
Question 5
zE=(−3i)100
Correction
∣(z1)n∣=∣z1∣n
arg((z1)n)=narg(z1)
On note z1=−3i. Ainsi ∣z1∣=02+(−3)2=3 L'argument de z1=−3i est donné par {cos(θ)sin(θ)==30=03−3=−1 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg(z1)=−2π[2π] On a donc zE=(z1)100 Ainsi ∣zE∣=∣∣(z1)100∣∣=∣z1∣100=(3)100 De plus arg(zE)=arg((z1)100) équivaut successivement à arg(zE)=100×arg(z1) arg(zE)=100×(−2π) arg(zE)=−50π[2π] On va donner maintenant la mesure principale de −50π. Ainsi −50π=0−2×25π. Autrement dit la mesure principale de −50π est de 0 Ainsi :