Déterminer un argument d'un nombre complexe - Exercice 2

15 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1
Donner le module et l'argument des nombres complexes suivants :

zA=(3+i)(−2+2i)z_{A} =\left(\sqrt{3} +i\right)\left(-2+2i\right) on note z1=3+iz_{1} =\sqrt{3} +i et z2=−2+2iz_{2} =-2+2i

Correction
  • ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\left|z_{2} \right|
  • arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\arg \left(z_{1} z_{2} \right)=\arg \left(z_{1} \right)+\arg \left(z_{2} \right)
    • ∣z1∣=∣3+i∣=((3)2+12)=2\left|z_{1} \right|=\left|\sqrt{3} +i\right|=\left(\sqrt{\left(\sqrt{3} \right)^{2} +1^{2} } \right)=2
    ∣z2∣=∣−2+2i∣=((−2)2+22)=22\left|z_{2} \right|=\left|-2+2i\right|=\left(\sqrt{\left(-2\right)^{2} +2^{2} } \right)=2\sqrt{2}
    L'argument de z1=3+iz_{1} =\sqrt{3} +i est donné par {cos⁡(θ)=32sin⁡(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z1)=π6[2π]\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
    L'argument de z2=−2+2iz_{2} =-2+2i est donné par {cos⁡(θ)=−222=−22sin⁡(θ)=222=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-2}{2\sqrt{2} } =\frac{-\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2}{2\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z2)=3π4[2π]\arg \left(z_{2} \right)=\frac{3\pi }{4} \left[2\pi \right]
    On a alors zA=(3+i)(−2+2i)=z1z2z_{A} =\left(\sqrt{3} +i\right)\left(-2+2i\right)=z_{1} z_{2}
    ∣zA∣=∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=2×22\left|z_{A} \right|=\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\left|z_{2} \right|=2\times 2\sqrt{2} ainsi :
    ∣zA∣=42\left|z_{A} \right|=4\sqrt{2}

    arg⁡(zA)=arg⁡(z1z2)\arg \left(z_{A} \right)=\arg \left(z_{1} z_{2} \right) équivaut successivement à
    arg⁡(zA)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\arg \left(z_{A} \right)=\arg \left(z_{1} \right)+\arg \left(z_{2} \right)
    arg⁡(zA)=π6+3π4\arg \left(z_{A} \right)=\frac{\pi }{6} +\frac{3\pi }{4}
    arg⁡(zA)=2π12+9π12\arg \left(z_{A} \right)=\frac{2\pi }{12} +\frac{9\pi }{12}
    arg⁡(zA)=11π12[2π]\arg \left(z_{A} \right)=\frac{11\pi }{12} \left[2\pi \right]
    Question 2

    zB=1+i−3+iz_{B} =\frac{1+i}{-\sqrt{3} +i} on note z1=1+iz_{1} =1+i et z2=−3+iz_{2} =-\sqrt{3} +i

    Correction
  • ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
  • arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)−arg⁡(z2)\arg \left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)=\arg \left(z_{1} \right)-\arg \left(z_{2} \right)
    • ∣z1∣=∣1+i∣=(12+12)=2\left|z_{1} \right|=\left|1+i\right|=\left(\sqrt{1^{2} +1^{2} } \right)=\sqrt{2}
    ∣z2∣=∣−3+i∣=((−3)2+12)=2\left|z_{2} \right|=\left|-\sqrt{3} +i\right|=\left(\sqrt{\left(-\sqrt{3} \right)^{2} +1^{2} } \right)=2
    L'argument de z1=1+iz_{1} =1+i est donné par {cos⁡(θ)=12=22sin⁡(θ)=12=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z1)=π4[2π]\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
    L'argument de z2=−3+iz_{2} =-\sqrt{3} +i est donné par {cos⁡(θ)=−32sin⁡(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z2)=5π6[2π]\arg \left(z_{2} \right)=\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]
    On a alors zB=1+i−3+i=z1z2z_{B} =\frac{1+i}{-\sqrt{3} +i} =\frac{z_{1} }{z_{2} }
    ∣zB∣=∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=22\left|z_{B} \right|=\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|} =\frac{\sqrt{2} }{2} ainsi :
    ∣zB∣=22\left|z_{B} \right|=\frac{\sqrt{2} }{2}

    arg⁡(zB)=arg⁡(z1z2)\arg \left(z_{B} \right)=\arg \left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right) équivaut successivement à
    arg⁡(zB)=arg⁡(z1)−arg⁡(z2)\arg \left(z_{B} \right)=\arg \left(z_{1} \right)-\arg \left(z_{2} \right)
    arg⁡(zB)=π4−5π6\arg \left(z_{B} \right)=\frac{\pi }{4} -\frac{5\pi }{6}
    arg⁡(zB)=−7π12[2π]\arg \left(z_{B} \right)=-\frac{7\pi }{12} \left[2\pi \right]
    Question 3

    zC=(−1+i3)4z_{C} =\left(-1+i\sqrt{3} \right)^{4}

    Correction
  • ∣(z1)n∣=∣z1∣n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
  • arg⁡((z1)n)=narg⁡(z1)\arg \left(\left(z_{1} \right)^{n} \right)=n\arg \left(z_{1} \right)
    • On note z1=−1+i3z_{1} =-1+i\sqrt{3} . Ainsi ∣z1∣=(−1)2+(3)2=2\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} } =2
    L'argument de z1=−3+iz_{1} =-\sqrt{3} +i est donné par {cos⁡(θ)=−12sin⁡(θ)=32\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z1)=2π3[2π]\arg \left(z_{1} \right)=\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]
    On a donc zC=(z1)4z_{C} =\left(z_{1} \right)^{4}
    Ainsi ∣zC∣=∣(z1)4∣=∣z1∣4=24\left|z_{C} \right|=\left|\left(z_{1} \right)^{4} \right|=\left|z_{1} \right|^{4} =2^{4} ainsi :
    ∣zC∣=16\left|z_{C} \right|=16

    De plus
    arg⁡(zC)=arg⁡((z1)4)\arg \left(z_{C} \right)=\arg \left(\left(z_{1} \right)^{4} \right) équivaut successivement à
    arg⁡(zC)=4arg⁡(z1)\arg \left(z_{C} \right)=4\arg \left(z_{1} \right)
    arg⁡(zC)=4×2π3\arg \left(z_{C} \right)=4\times \frac{2\pi }{3}
    arg⁡(zC)=8π3[2π]\arg \left(z_{C} \right)=\frac{8\pi }{3} \left[2\pi \right]
    On va donner maintenant la mesure principale de 8π3\frac{8\pi }{3} .
    Or : 8π3−2π=2π3\frac{8\pi }{3} -2\pi =\frac{2\pi }{3} .
    Ainsi :
    arg⁡(zC)=2π3[2π]\arg \left(z_{C} \right)=\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]
    Question 4

    zD=(1+i)2016z_{D} =\left(1+i\right)^{2016}

    Correction
  • ∣(z1)n∣=∣z1∣n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
  • arg⁡((z1)n)=narg⁡(z1)\arg \left(\left(z_{1} \right)^{n} \right)=n\arg \left(z_{1} \right)
    • On note z1=1+iz_{1} =1+i. Ainsi ∣z1∣=12+12=2\left|z_{1} \right|=\sqrt{1^{2} +1^{2} } =\sqrt{2}
    L'argument de z1=1+iz_{1} =1+i est donné par {cos⁡(θ)=12=22sin⁡(θ)=12=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z1)=π4[2π]\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]
    On a donc zD=(z1)2016z_{D} =\left(z_{1} \right)^{2016}
    Ainsi ∣zD∣=∣(z1)2016∣=∣z1∣2016=(2)2016\left|z_{D} \right|=\left|\left(z_{1} \right)^{2016} \right|=\left|z_{1} \right|^{2016} =\left(\sqrt{2} \right)^{2016}
    De plus
    arg⁡(zD)=arg⁡((z1)2016)\arg \left(z_{D} \right)=\arg \left(\left(z_{1} \right)^{2016} \right) équivaut successivement à
    arg⁡(zD)=2016×arg⁡(z1)\arg \left(z_{D} \right)=2016\times \arg \left(z_{1} \right)
    arg⁡(zD)=2016×π4\arg \left(z_{D} \right)=2016\times \frac{\pi }{4}
    arg⁡(zD)=504π[2π]\arg \left(z_{D} \right)=504\pi \left[2\pi \right]
    On va donner maintenant la mesure principale de 504π504\pi .
    Or: 504π=252×2π504\pi =252\times 2\pi . Autrement dit la mesure principale de 504π504\pi est de 00
    Ainsi :
    arg⁡(zD)=0[2π]\arg \left(z_{D} \right)=0\left[2\pi \right]
    Question 5

    zE=(−3i)100z_{E} =\left(-3i\right)^{100}

    Correction
  • ∣(z1)n∣=∣z1∣n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
  • arg⁡((z1)n)=narg⁡(z1)\arg \left(\left(z_{1} \right)^{n} \right)=n\arg \left(z_{1} \right)
    • On note z1=−3iz_{1} =-3i. Ainsi ∣z1∣=02+(−3)2=3\left|z_{1} \right|=\sqrt{0^{2} +\left(-3\right)^{2} } =3
    L'argument de z1=−3iz_{1} =-3i est donné par {cos⁡(θ)=03=0sin⁡(θ)=−33=−1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{3} =0} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-3}{3} =-1} \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que arg⁡(z1)=−π2[2π]\arg \left(z_{1} \right)=-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
    On a donc zE=(z1)100z_{E} =\left(z_{1} \right)^{100}
    Ainsi ∣zE∣=∣(z1)100∣=∣z1∣100=(3)100\left|z_{E} \right|=\left|\left(z_{1} \right)^{100} \right|=\left|z_{1} \right|^{100} =\left(3\right)^{100}
    De plus
    arg⁡(zE)=arg⁡((z1)100)\arg \left(z_{E} \right)=\arg \left(\left(z_{1} \right)^{100} \right) équivaut successivement à
    arg⁡(zE)=100×arg⁡(z1)\arg \left(z_{E} \right)=100\times \arg \left(z_{1} \right)
    arg⁡(zE)=100×(−π2)\arg \left(z_{E} \right)=100\times \left(-\frac{\pi }{2}\right)
    arg⁡(zE)=−50π[2π]\arg \left(z_{E} \right)=-50\pi \left[2\pi \right]
    On va donner maintenant la mesure principale de −50π-50\pi . Ainsi −50π=0−2×25π-50\pi =\red{0}-2\times25\pi .
    Autrement dit la mesure principale de −50π-50\pi est de 0\red{0}
    Ainsi :
    arg⁡(zE)=0[2π]\arg \left(z_{E} \right)=0 \left[2\pi \right]

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