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Nombres complexes : point de vue géométrique

Déterminer un argument d'un nombre complexe - Exercice 1

20 min
30
COMPETENCES  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1
Donner le module et l'argument des nombres complexes suivants.
N'hésite pas à regarder la vidéo Module et Argument.

z1=3+iz_{1} =\sqrt{3} +i

Correction
z1=(3)2+12=2\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(\sqrt{3} \right)^{2} +1^{2} } =2
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z1module de z1sin(θ)=partie imaginaire de z1module de z1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{1}}{\text{module de } z_{1}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{1}}{\text{module de } z_{1} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=32sin(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=π6[2π]\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]
[2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi
Question 2

z2=22i3z_{2} =2-2i\sqrt{3}

Correction
z2=22+(23)2=4.\left|z_{2} \right|=\sqrt{2^{2} +\left(-2\sqrt{3} \right)^{2} } =4.
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z2module de z2sin(θ)=partie imaginaire de z2module de z2\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{2}}{\text{module de } z_{2}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{2}}{\text{module de } z_{2} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=24sin(θ)=234\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2}{4} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-2\sqrt{3} }{4} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=12sin(θ)=32\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{3} }{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=π3[2π]\theta =-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]

Question 3

z3=33iz_{3} =-3-3i

Correction
z3=(3)2+(3)2=18=32\left|z_{3} \right|=\sqrt{\left(-3\right)^{2} +\left(-3\right)^{2} } =\sqrt{18} =3\sqrt{2}
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z3module de z3sin(θ)=partie imaginaire de z3module de z3\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{3}}{\text{module de } z_{3}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{3}}{\text{module de } z_{3} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=332sin(θ)=332\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-3}{3\sqrt{2} } } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-3}{3\sqrt{2} } } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=12sin(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1}{\sqrt{2} } } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1}{\sqrt{2} } } \end{array}\right.
enfin {cos(θ)=1×22×2=22sin(θ)=1×22×2=22\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1\times \sqrt{2} }{\sqrt{2} \times \sqrt{2} } =\frac{-\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1\times \sqrt{2} }{\sqrt{2} \times \sqrt{2} } =\frac{-\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=3π4[2π]\theta =-\frac{3\pi }{4} \left[2\pi \right]

Question 4

z4=4iz_{4} =-4i

Correction
z4=02+(4)2=16=4.\left|z_{4} \right|=\sqrt{0^{2} +\left(-4\right)^{2} } =\sqrt{16} =4.
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z4module de z4sin(θ)=partie imaginaire de z4module de z4\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{4}}{\text{module de } z_{4}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{4}}{\text{module de } z_{4} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=04sin(θ)=44\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{4} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-4}{4} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=0sin(θ)=1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {0} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-1} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=π2[2π]\theta =-\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Question 5

z5=2z_{5} =2

Correction
z5=22+02=4=2\left|z_{5} \right|=\sqrt{2^{2} +0^{2} } =\sqrt{4} =2
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z5module de z5sin(θ)=partie imaginaire de z5module de z5\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{5}}{\text{module de } z_{5}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{5}}{\text{module de } z_{5} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=22sin(θ)=02\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{2} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=1sin(θ)=0\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {1} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=0[2π]\theta =0\left[2\pi \right]
Question 6

z6=iz_{6} =i

Correction
z6=02+(1)2=1=1.\left|z_{6} \right|=\sqrt{0^{2} +\left(1\right)^{2} } =\sqrt{1} =1.
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z6module de z6sin(θ)=partie imaginaire de z6module de z6\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{6}}{\text{module de } z_{6}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{6}}{\text{module de } z_{6} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=01sin(θ)=11\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{1} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{1} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=0sin(θ)=1\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {0} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=π2[2π]\theta =\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]
Question 7

z7=5z_{7} =-5

Correction
z7=(5)2+02=25=5\left|z_{7} \right|=\sqrt{\left(-5\right)^{2} +0^{2} } =\sqrt{25} =5
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z7module de z7sin(θ)=partie imaginaire de z7module de z7\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{7}}{\text{module de } z_{7}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{7}}{\text{module de } z_{7} } } \end{array}\right.
On a donc {cos(θ)=55sin(θ)=05\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-5}{5} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{5} } \end{array}\right.
d'où {cos(θ)=1sin(θ)=0\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {-1} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=π[2π]\theta =\pi\left[2\pi \right]
Question 8

z8=333iz_{8} =-3\sqrt{3} -3i

Correction
z8=(33)2+(3)2=6\left|z_{8} \right|=\sqrt{\left(-3\sqrt{3} \right)^{2} +\left(-3\right)^{2} } =6
Pour l'argument θ\theta on sait que {cos(θ)=partie reˊelle de z8module de z8sin(θ)=partie imaginaire de z8module de z8\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z_{8}}{\text{module de } z_{8}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z_{8}}{\text{module de } z_{8} } } \end{array}\right.
On a donc :
{cos(θ)=336sin(θ)=36\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-3\sqrt{3} }{6} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{3}{6} } \end{array}\right.
{cos(θ)=32sin(θ)=12\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right.
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
θ=5π6[2π]\theta =-\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]
[2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi