Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe
Exercice 1
COMPETENCES:Calculer
Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants.
1
z1=23+2i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
∣z1∣=(23)2+(2)2⇔∣z1∣=4 On a donc {cos(θ)sin(θ)==42342 d'où {cos(θ)sin(θ)==2321 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=6π[2π] ou encore arg(z1)=6π[2π] L'écriture trigonométrique de z1 est alors
z1=4(cos(6π)+isin(6π))
2
z2=21−21i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
∣z2∣=(21)2+(−21)2⇔∣z2∣=22 On a donc ⎩⎪⎨⎪⎧cos(θ)sin(θ)==(22)(21)(22)(−21) d'où {cos(θ)sin(θ)==22−22 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−4π[2π] ou encore arg(z2)=−4π[2π] L'écriture trigonométrique de z2 est alors
z2=22(cos(−4π)+isin(−4π))
3
z3=3−33i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
∣z3∣=32+(−33)2⇔∣z3∣=6 On a donc {cos(θ)sin(θ)==636−33 d'où {cos(θ)sin(θ)==21−23 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=−3π[2π] ou encore arg(z3)=−3π[2π] L'écriture trigonométrique de z3 est alors
z3=6(cos(−3π)+isin(−3π))
4
z4=5i
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
∣z4∣=02+52⇔∣z4∣=5 On a donc {cos(θ)sin(θ)==5055 d'où {cos(θ)sin(θ)==01 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=2π[2π] ou encore arg(z4)=2π[2π] L'écriture trigonométrique de z4 est alors
z4=5(cos(2π)+isin(2π))
5
z5=−8
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
∣z5∣=(−8)2⇔∣z5∣=8 On a donc {cos(θ)sin(θ)==8−880 d'où {cos(θ)sin(θ)==−10 Avec le cercle trigonométrique on en déduit que θ=π[2π] ou encore arg(z5)=π[2π] L'écriture trigonométrique de z5 est alors
z5=8(cos(π)+isin(π))
6
z6=2+2i3+i
Correction
∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
arg(z2z1)=arg(z1)−arg(z2)
Pour ce quotient, calculons le module et l'argument du numérateur 3+i puis le module et l'argument du numérateur 2+2i Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument).
D'une part pour 3+i, le module vaut 2 et l'argument vaut θ=6π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de 3+i est 2ei6π.
D'autre part pour 2+2i, le module vaut 22 et l'argument vaut θ=4π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de 2+2i est 22ei4π.
Ainsi : z6=2+2i3+i équivaut successivement à z6=22ei4π2ei6π z6=22ei(6π−4π) z6=22ei(122π−123π) z6=22e−i12π L'écriture trigonométrique de z6 est alors
z6=22(cos(−12π)+isin(−12π))
7
z7=(−1−i)(−3−i)
Correction
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)
Pour ce produit, calculons le module et l'argument du numérateur −1−i puis le module et l'argument du numérateur −3−i Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument)
D'une part pour −1−i le module vaut 2 et l'argument vaut θ=−43π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de −1−i est 2e−i43π.
D'autre part pour −3−i le module vaut 2 et l'argument vaut θ=−65π[2π] . Donc l'écriture exponentielle de −3−i est 22e−i65π.
Ainsi : z7=(−1−i)(−3−i) z7=(2e−i43π)(22e−i65π) z7=2×22×e−i43π×e−i65π z7=4ei(−43π+(−65π)) z7=4ei(−43π−65π) z7=4ei(−129π−1210π) z7=4ei(−1219π) L'écriture trigonométrique de z7 est alors
z7=4(cos(−1219π)+isin(−1219π))
Exercice 2
COMPETENCES:Calculer
1
On donne une forme trigonométrique du nombre complexe z1 telle que : z1=2(cos(4π)+isin(4π)) . Déterminer la forme algébrique de z1.
Correction
z1=2(cos(4π)+isin(4π)) équivaut successivement à : z1=2(22+i22) z1=2×22+2×i22 Ainsi :
z1=2+i2
2
On donne une forme trigonométrique du nombre complexe z2 telle que : z2=4(cos(−6π)+isin(−6π)) . Déterminer la forme algébrique de z2.
Correction
z2=4(cos(−6π)+isin(−6π)) équivaut successivement à : z2=4(23−21i) z2=4×23+4×(−21i) Ainsi :
z2=23−2i
3
On donne une forme trigonométrique du nombre complexe z3 telle que : z3=2(cos(−43π)+isin(−43π)) . Déterminer la forme algébrique de z3.
Correction
z3=2(−22−22i) z3=2×(−22)+2×(−22i) Ainsi :
z3=−1−i
Exercice 3
COMPETENCES:Calculer
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :
1
z1 tel que ∣z1∣=2 et arg(z1)=4π[2π]
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
Avec ces informations, nous sommes en mesure donner la forme trigonométrique de z1. z1=2(cos(4π)+isin(4π)) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus. z1=2×(22+i22) z1=2×22+2×22i
z1=2+i2
2
z2 tel que ∣z2∣=5 et arg(z2)=−32π[2π]
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
Avec ces informations, nous sommes en mesure donner la forme trigonométrique de z2. z2=5(cos(−32π)+isin(−32π)) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus. z2=5×(−21−i23) z2=5×(2−1)+5×(2−3i)
z2=−25−253i
3
z3 tel que ∣z3∣=3 et arg(z3)=65π[2π]
Correction
Soit z un nombre complexe dont le module est ∣z∣ et θ un argument de z.
L'écriture trigonométrique de z est alors z=∣z∣(cos(θ)+isin(θ))
Avec ces informations, nous sommes en mesure donner la forme trigonométrique de z3. z3=3(cos(65π)+isin(65π)) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus. z3=3×(−23+21i) z3=3×(−23)+3×21i
z3=−23+23i
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