Nombres complexes : point de vue géométrique

Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 5

9 min
20
COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
On donne les nombres complexes suivants : z1=3iz_1=3i et z2=−2+4iz_2=-2+4i . Déterminer les modules suivants :

ZA=z1z2Z_{A} =z_{1} z_{2}

Correction
Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de ZAZ_{A}.
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|
Soit ZA=z1z2Z_{A} =z_{1} z_{2} avec z1=3iz_1=3i et z2=−2+4iz_2=-2+4i
∣ZA∣=∣(3i)(−2+4i)∣\left|Z_{A} \right|=\left|\left(3i\right)\left(-2+4i\right)\right|
∣ZA∣=∣3i∣×∣−2+4i∣\left|Z_{A} \right|=\left|3i\right|\times \left|-2+4i\right|
∣ZA∣=32×((−2)2+42)\left|Z_{A} \right|=\sqrt{3^2 } \times \left(\sqrt{(-2)^{2} +4^{2} } \right)
∣ZA∣=3×20\left|Z_{A} \right|=3 \times \sqrt{20}
∣ZA∣=320\left|Z_{A} \right|=3\sqrt{20}
∣ZA∣=34×5\left|Z_{A} \right|=3\sqrt{4\times 5}
Ainsi :
∣ZA∣=65\left|Z_{A} \right|=6\sqrt{5}

Question 2

ZB=z1z2Z_{B} =\frac{z_{1} }{z_{2} }

Correction
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2 avec z2≠0z_2\ne 0, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
ZB=z1z2Z_{B} =\frac{z_{1} }{z_{2} } avec z1=3iz_1=3i et z2=−2+4iz_2=-2+4i
∣ZB∣=∣3i−2+4i∣\left|Z_{B} \right|=\left|\frac{3i}{-2+4i} \right|
∣ZB∣=∣3i∣∣−2+4i∣\left|Z_{B} \right|=\frac{\left|3i\right|}{\left|-2+4i\right|}
∣ZB∣=32(−2)2+42\left|Z_{B} \right|=\frac{\sqrt{3^2 } }{\sqrt{(-2)^{2} +4^{2} } }
∣ZB∣=320\left|Z_{B} \right|=\frac{3 }{\sqrt{20} }
Ainsi :
∣ZB∣=3510\left|Z_{B} \right|=\frac{3\sqrt{5} }{10}

Question 3

ZC=(z1)3(z2)4Z_{C} =\left(z_{1} \right)^{3} \left(z_{2} \right)^{4}

Correction
  • Soit z1z_1 un nombre complexe et nn un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|
Soit ZC=(z1)3(z2)4Z_{C} =\left(z_{1} \right)^{3} \left(z_{2} \right)^{4} avec z1=3iz_1=3i et z2=−2+4iz_2=-2+4i
∣ZC∣=∣(z1)3×(z2)4∣\left|Z_{C} \right|=\left|\left(z_{1} \right)^{3} \times \left(z_{2} \right)^{4} \right|
∣ZC∣=∣(z1)3∣×∣(z2)4∣\left|Z_{C} \right|=\left|\left(z_{1} \right)^{3} \right|\times \left|\left(z_{2} \right)^{4} \right|
∣ZC∣=∣z1∣3×∣z2∣4\left|Z_{C} \right|=\left|z_{1} \right|^{3} \times \left|z_{2} \right|^{4}
∣ZC∣=(32)3×((−2)2+42)4\left|Z_{C} \right|=\left(\sqrt{3^{2} } \right)^{3} \times \left(\sqrt{\left(-2\right)^{2} +4^{2} } \right)^{4}
∣ZC∣=33×(20)4\left|Z_{C} \right|=3^{3} \times \left(\sqrt{20} \right)^{4}
∣ZC∣=27×400\left|Z_{C} \right|=27\times 400
Ainsi :
∣ZC∣=10800\left|Z_{C} \right|=10800