Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 4

9 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1=(−4+2i)(−5+i)z_{1} =\left(-4+2i\right)\left(-5+i\right)

Correction
Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de z1z_1.
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|
∣z1∣=∣(−4+2i)(−5+i)∣\left|z_{1} \right|=\left|\left(-4+2i\right)\left(-5+i\right)\right|
∣z1∣=∣−4+2i∣×∣−5+i∣\left|z_{1} \right|=\left|-4+2i\right|\times \left|-5+i\right|
∣z1∣=∣−4+2i∣×∣−5+i∣\left|z_{1} \right|=\left|-4+2i\right|\times \left|-5+i\right|
∣z1∣=(−4)2+22×(−5)2+12\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(-4\right)^{2} +2^{2} } \times \sqrt{\left(-5\right)^{2} +1^{2} }
∣z1∣=20×26\left|z_{1} \right|=\sqrt{20} \times \sqrt{26}
∣z1∣=4×5×26\left|z_{1} \right|=\sqrt{4} \times \sqrt{5} \times \sqrt{26}
∣z1∣=2×5×26\left|z_{1} \right|=2\times \sqrt{5} \times \sqrt{26}
∣z1∣=2130\left|z_{1} \right|=2\sqrt{130}
Ainsi :
∣z1∣=2130\left|z_{1} \right|=2\sqrt{130}
Question 2

z2=2−i3+2iz_{2} =\frac{2-i}{3+2i}

Correction
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2 avec z2≠0z_2\ne 0, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
∣z2∣=∣2−i3+2i∣\left|z_{2} \right|=\left|\frac{2-i}{3+2i} \right|
∣z2∣=∣2−i∣∣3+2i∣\left|z_{2} \right|=\frac{\left|2-i\right|}{\left|3+2i\right|}
∣z2∣=22+(−1)232+22\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{2^{2} +\left(-1\right)^{2} } }{\sqrt{3^{2} +2^{2} } }
∣z2∣=513\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{13} }
∣z2∣=5×1313×13\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{13} }{\sqrt{13} \times \sqrt{13} }
Ainsi :
∣z2∣=6513\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{65} }{13}
Question 3

z3=(1−2i)5z_{3} =\left(1-2i \right)^{5}

Correction
  • Soit z1z_1 un nombre complexe et nn un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
∣z3∣=∣(1−2i)5∣\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-2i\right)^{5} \right|
∣z3∣=∣(1−2i)∣5\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-2i\right)\right|^{5}
∣z3∣=(12+(−2)2)5\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2 } \right)^{5}
∣z3∣=(5)5\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{5} \right)^{5}
Ainsi :
∣z3∣=255\left|z_{3} \right|=25\sqrt{5}

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