Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Nombres complexes : point de vue géométrique - Option mathématiques expertes

Question 1

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

$z_{1} =\left(-4+2i\right)\left(-5+i\right)$

Correction

Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de

z_1

.

Pour tous complexes $z_1$ et $z_2$ , on a : $\left|z_{1} z_{2} \right|=\left|z_{1} \right|\times \left|z_{2} \right|$

\left|z_{1} \right|=\left|\left(-4+2i\right)\left(-5+i\right)\right|

\left|z_{1} \right|=\left|-4+2i\right|\times \left|-5+i\right|

\left|z_{1} \right|=\left|-4+2i\right|\times \left|-5+i\right|

\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(-4\right)^{2} +2^{2} } \times \sqrt{\left(-5\right)^{2} +1^{2} }

\left|z_{1} \right|=\sqrt{20} \times \sqrt{26}

\left|z_{1} \right|=\sqrt{4} \times \sqrt{5} \times \sqrt{26}

\left|z_{1} \right|=2\times \sqrt{5} \times \sqrt{26}

\left|z_{1} \right|=2\sqrt{130}

Ainsi :

\left|z_{1} \right|=2\sqrt{130}

Question 2

Correction

Pour tous complexes $z_1$ et $z_2$ avec $z_2\ne 0$ , on a : $\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}$

\left|z_{2} \right|=\left|\frac{2-i}{3+2i} \right|

\left|z_{2} \right|=\frac{\left|2-i\right|}{\left|3+2i\right|}

\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{2^{2} +\left(-1\right)^{2} } }{\sqrt{3^{2} +2^{2} } }

\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{13} }

\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{13} }{\sqrt{13} \times \sqrt{13} }

Ainsi :

\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{65} }{13}

Question 3

Correction

Soit $z_1$ un nombre complexe et $n$ un entier naturel non nul, on a : $\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}$

\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-2i\right)^{5} \right|

\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-2i\right)\right|^{5}

\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2 } \right)^{5}

\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{5} \right)^{5}

Ainsi :

\left|z_{3} \right|=25\sqrt{5}