Nombres complexes : point de vue géométrique

Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 3

6 min
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COMPETENCES  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1=(1+i)8z_{1} =\left(1+i\right)^{8}

Correction
  • Soit z1z_1 un nombre complexe et nn un entier naturel non nul, on a : (z1)n=z1n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
z1=(1+i)8\left|z_{1} \right|=\left|\left(1+i\right)^{8} \right|
z1=(1+i)8\left|z_{1} \right|=\left|\left(1+i\right)\right|^{8}
z1=(12+12)8\left|z_{1} \right|=\left(\sqrt{1^{2} +1^{2} } \right)^{8}
z1=(2)8\left|z_{1} \right|=\left(\sqrt{2} \right)^{8}
Ainsi :
z1=16\left|z_{1} \right|=16

Question 2

z2=(5+4i)6z_{2} =\left(\sqrt{5} +4i\right)^{6}

Correction
  • Soit z1z_1 un nombre complexe et nn un entier naturel non nul, on a : (z1)n=z1n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
z2=(5+4i)6\left|z_{2} \right|=\left|\left(\sqrt{5}+4i\right)^{6} \right|
z2=(5+4i)6\left|z_{2} \right|=\left|\left(\sqrt{5}+4i\right)\right|^{6}
z2=((5)2+42)6\left|z_{2} \right|=\left(\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^{2} +4^{2} } \right)^{6}
z2=(21)6\left|z_{2} \right|=\left(\sqrt{21} \right)^{6}
Ainsi :
z2=9  261\left|z_{2} \right|=9\;261

Question 3

z3=(13i)12z_{3} =\left(1-\sqrt{3}i \right)^{12}

Correction
  • Soit z1z_1 un nombre complexe et nn un entier naturel non nul, on a : (z1)n=z1n\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
z3=(13i)12\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-\sqrt{3}i\right)^{12} \right|
z3=(13i)12\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-\sqrt{3}i\right)\right|^{12}
z3=(12+(3)2)12\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{1^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2 } \right)^{12}
z3=(1+3)12\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{1+3} \right)^{12}
z3=(4)12\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{4} \right)^{12}
z3=212\left|z_{3} \right|=2^{12}
Ainsi :
z3=4  096\left|z_{3} \right|=4\;096