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Nombres complexes : point de vue géométrique
Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 3
6 min
15
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
1
°
)
R
a
i
s
o
n
n
e
r
.
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}
COMPETENCES
:
1°
)
R
ai
so
nn
er
.
\;\;
2
°
)
C
a
l
c
u
l
e
r
.
{\color{red}2°)\;Calculer.}
2°
)
C
a
l
c
u
l
er
.
Question 1
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
z
1
=
(
1
+
i
)
8
z_{1} =\left(1+i\right)^{8}
z
1
=
(
1
+
i
)
8
Correction
Soit
z
1
z_1
z
1
un nombre complexe et
n
n
n
un entier naturel non nul, on a :
∣
(
z
1
)
n
∣
=
∣
z
1
∣
n
\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
∣
(
z
1
)
n
∣
=
∣
z
1
∣
n
∣
z
1
∣
=
∣
(
1
+
i
)
8
∣
\left|z_{1} \right|=\left|\left(1+i\right)^{8} \right|
∣
z
1
∣
=
∣
∣
(
1
+
i
)
8
∣
∣
∣
z
1
∣
=
∣
(
1
+
i
)
∣
8
\left|z_{1} \right|=\left|\left(1+i\right)\right|^{8}
∣
z
1
∣
=
∣
(
1
+
i
)
∣
8
∣
z
1
∣
=
(
1
2
+
1
2
)
8
\left|z_{1} \right|=\left(\sqrt{1^{2} +1^{2} } \right)^{8}
∣
z
1
∣
=
(
1
2
+
1
2
)
8
∣
z
1
∣
=
(
2
)
8
\left|z_{1} \right|=\left(\sqrt{2} \right)^{8}
∣
z
1
∣
=
(
2
)
8
Ainsi :
∣
z
1
∣
=
16
\left|z_{1} \right|=16
∣
z
1
∣
=
16
Question 2
z
2
=
(
5
+
4
i
)
6
z_{2} =\left(\sqrt{5} +4i\right)^{6}
z
2
=
(
5
+
4
i
)
6
Correction
Soit
z
1
z_1
z
1
un nombre complexe et
n
n
n
un entier naturel non nul, on a :
∣
(
z
1
)
n
∣
=
∣
z
1
∣
n
\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
∣
(
z
1
)
n
∣
=
∣
z
1
∣
n
∣
z
2
∣
=
∣
(
5
+
4
i
)
6
∣
\left|z_{2} \right|=\left|\left(\sqrt{5}+4i\right)^{6} \right|
∣
z
2
∣
=
∣
∣
(
5
+
4
i
)
6
∣
∣
∣
z
2
∣
=
∣
(
5
+
4
i
)
∣
6
\left|z_{2} \right|=\left|\left(\sqrt{5}+4i\right)\right|^{6}
∣
z
2
∣
=
∣
∣
(
5
+
4
i
)
∣
∣
6
∣
z
2
∣
=
(
(
5
)
2
+
4
2
)
6
\left|z_{2} \right|=\left(\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^{2} +4^{2} } \right)^{6}
∣
z
2
∣
=
(
(
5
)
2
+
4
2
)
6
∣
z
2
∣
=
(
21
)
6
\left|z_{2} \right|=\left(\sqrt{21} \right)^{6}
∣
z
2
∣
=
(
21
)
6
Ainsi :
∣
z
2
∣
=
9
261
\left|z_{2} \right|=9\;261
∣
z
2
∣
=
9
261
Question 3
z
3
=
(
1
−
3
i
)
12
z_{3} =\left(1-\sqrt{3}i \right)^{12}
z
3
=
(
1
−
3
i
)
12
Correction
Soit
z
1
z_1
z
1
un nombre complexe et
n
n
n
un entier naturel non nul, on a :
∣
(
z
1
)
n
∣
=
∣
z
1
∣
n
\left|\left(z_{1} \right)^{n} \right|=\left|z_{1} \right|^{n}
∣
(
z
1
)
n
∣
=
∣
z
1
∣
n
∣
z
3
∣
=
∣
(
1
−
3
i
)
12
∣
\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-\sqrt{3}i\right)^{12} \right|
∣
z
3
∣
=
∣
∣
(
1
−
3
i
)
12
∣
∣
∣
z
3
∣
=
∣
(
1
−
3
i
)
∣
12
\left|z_{3} \right|=\left|\left(1-\sqrt{3}i\right)\right|^{12}
∣
z
3
∣
=
∣
∣
(
1
−
3
i
)
∣
∣
12
∣
z
3
∣
=
(
1
2
+
(
−
3
)
2
)
12
\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{1^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2 } \right)^{12}
∣
z
3
∣
=
(
1
2
+
(
−
3
)
2
)
12
∣
z
3
∣
=
(
1
+
3
)
12
\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{1+3} \right)^{12}
∣
z
3
∣
=
(
1
+
3
)
12
∣
z
3
∣
=
(
4
)
12
\left|z_{3} \right|=\left(\sqrt{4} \right)^{12}
∣
z
3
∣
=
(
4
)
12
∣
z
3
∣
=
2
12
\left|z_{3} \right|=2^{12}
∣
z
3
∣
=
2
12
Ainsi :
∣
z
3
∣
=
4
096
\left|z_{3} \right|=4\;096
∣
z
3
∣
=
4
096