Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 2

6 min

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}

\;\;

{\color{red}2°)\;Calculer.}

Question 1

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

$z_{1} =\frac{2+i}{3+4i}$

Correction

Pour tous complexes $z_1$ et $z_2$ avec $z_2\ne 0$ , on a : $\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}$

\left|z_{1} \right|=\left|\frac{2+i}{3+4i} \right|

\left|z_{1} \right|=\frac{\left|2+i\right|}{\left|3+4i\right|}

\left|z_{1} \right|=\frac{\sqrt{2^{2} +1^{2} } }{\sqrt{3^{2} +4^{2} } }

\left|z_{1} \right|=\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{25} }

Ainsi :

\left|z_{1} \right|=\frac{\sqrt{5} }{5}

Question 2

Correction

Pour tous complexes $z_1$ et $z_2$ avec $z_2\ne 0$ , on a : $\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}$

z_{2} =\left|\frac{3}{1+i}\right|

\left|z_{2} \right|=\frac{\left|3\right|}{\left|1+i\right|}

\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{3^{2} } }{\sqrt{1^{2} +1^{2} } }

\left|z_{2} \right|=\frac{3 }{\sqrt{2} }

Ainsi :

\left|z_{2} \right|=\frac{3\sqrt{2} }{2}

Question 3

Correction

\left|z_{3} \right|=\left|\frac{2-2i}{3-i} \right|

\left|z_{3} \right|=\frac{\left|2-2i\right|}{\left|3-i\right|}

\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{2^{2} +(-2)^{2} } }{\sqrt{3^{2} +(-1)^{2} } }

\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{8} }{\sqrt{10} }

\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{2\times 4} }{\sqrt{2\times 5} }

\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{4} }{\sqrt{2} \times \sqrt{5} }

\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{4} }{\sqrt{5} }

\left|z_{3} \right|=\frac{2}{\sqrt{5} }

\left|z_{3} \right|=\frac{2\times \sqrt{5} }{\sqrt{5} \times \sqrt{5} }

Ainsi :

\left|z_{3} \right|=\frac{2\sqrt{5} }{5}

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.