Nombres complexes : point de vue géométrique

Déterminer des modules à l'aide des propriétés - Exercice 2

6 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1=2+i3+4iz_{1} =\frac{2+i}{3+4i}

Correction
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2 avec z2≠0z_2\ne 0, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
∣z1∣=∣2+i3+4i∣\left|z_{1} \right|=\left|\frac{2+i}{3+4i} \right|
∣z1∣=∣2+i∣∣3+4i∣\left|z_{1} \right|=\frac{\left|2+i\right|}{\left|3+4i\right|}
∣z1∣=22+1232+42\left|z_{1} \right|=\frac{\sqrt{2^{2} +1^{2} } }{\sqrt{3^{2} +4^{2} } }
∣z1∣=525\left|z_{1} \right|=\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{25} }
Ainsi :
∣z1∣=55\left|z_{1} \right|=\frac{\sqrt{5} }{5}

Question 2

z2=31+iz_{2} =\frac{3}{1+i}

Correction
  • Pour tous complexes z1z_1 et z2z_2 avec z2≠0z_2\ne 0, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_{1} }{z_{2} } \right|=\frac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|}
z2=∣31+i∣z_{2} =\left|\frac{3}{1+i}\right|
∣z2∣=∣3∣∣1+i∣\left|z_{2} \right|=\frac{\left|3\right|}{\left|1+i\right|}
∣z2∣=3212+12\left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{3^{2} } }{\sqrt{1^{2} +1^{2} } }
∣z2∣=32\left|z_{2} \right|=\frac{3 }{\sqrt{2} }
Ainsi :
∣z2∣=322\left|z_{2} \right|=\frac{3\sqrt{2} }{2}

Question 3

z3=2−2i3−iz_{3} =\frac{2-2i}{3-i}

Correction
∣z3∣=∣2−2i3−i∣\left|z_{3} \right|=\left|\frac{2-2i}{3-i} \right|
∣z3∣=∣2−2i∣∣3−i∣\left|z_{3} \right|=\frac{\left|2-2i\right|}{\left|3-i\right|}
∣z3∣=22+(−2)232+(−1)2\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{2^{2} +(-2)^{2} } }{\sqrt{3^{2} +(-1)^{2} } }
∣z3∣=810\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{8} }{\sqrt{10} }
∣z3∣=2×42×5\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{2\times 4} }{\sqrt{2\times 5} }
∣z3∣=2×42×5\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{4} }{\sqrt{2} \times \sqrt{5} }
∣z3∣=45\left|z_{3} \right|=\frac{\sqrt{4} }{\sqrt{5} }
∣z3∣=25\left|z_{3} \right|=\frac{2}{\sqrt{5} }
∣z3∣=2×55×5\left|z_{3} \right|=\frac{2\times \sqrt{5} }{\sqrt{5} \times \sqrt{5} }
Ainsi :
∣z3∣=255\left|z_{3} \right|=\frac{2\sqrt{5} }{5}