Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
1
z1=(1+2i)(3−i)
Correction
Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de z1.
Pour tous complexes z1 et z2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣
∣z1∣=∣(1+2i)(3−i)∣ ∣z1∣=∣1+2i∣×∣3−i∣ ∣z1∣=(12+22)×(32+(−1)2) ∣z1∣=5×10 ∣z1∣=50 ∣z1∣=25×2 Ainsi :
∣z1∣=52
Exercice 2
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
1
z1=3+4i2+i
Correction
Pour tous complexes z1 et z2 avec z2=0, on a : ∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
∣z1∣=∣∣∣∣3+4i2+i∣∣∣∣ ∣z1∣=∣3+4i∣∣2+i∣ ∣z1∣=32+4222+12 ∣z1∣=255 Ainsi :
∣z1∣=55
2
z2=1+i3
Correction
Pour tous complexes z1 et z2 avec z2=0, on a : ∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
z2=∣∣∣∣1+i3∣∣∣∣ ∣z2∣=∣1+i∣∣3∣ ∣z2∣=12+1232 ∣z2∣=23 Ainsi :
∣z2∣=232
3
z3=3−i2−2i
Correction
∣z3∣=∣∣∣∣3−i2−2i∣∣∣∣ ∣z3∣=∣3−i∣∣2−2i∣ ∣z3∣=32+(−1)222+(−2)2 ∣z3∣=108 Ainsi :
∣z3∣=525
Exercice 3
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
1
z1=(1+i)8
Correction
Soit z1 un nombre complexe et n un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n
∣z1∣=∣∣∣(1+i)8∣∣∣ ∣z1∣=∣(1+i)∣8 ∣z1∣=(12+12)8 ∣z1∣=(2)8 Ainsi :
∣z1∣=16
2
z2=(5+4i)6
Correction
Soit z1 un nombre complexe et n un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n
∣z2∣=∣∣∣∣(5+4i)6∣∣∣∣ ∣z2∣=∣∣∣(5+4i)∣∣∣6 ∣z2∣=((5)2+42)6 ∣z2∣=(21)6 Ainsi :
∣z2∣=9261
3
z3=(1−3i)12
Correction
Soit z1 un nombre complexe et n un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n
∣z3∣=∣∣∣∣(1−3i)12∣∣∣∣ ∣z3∣=∣∣∣(1−3i)∣∣∣12 ∣z3∣=(12+(−3)2)12 ∣z3∣=(1+3)12 Ainsi :
∣z3∣=16777216
Exercice 4
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
1
z1=(−4+2i)(−5+i)
Correction
Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de z1.
Pour tous complexes z1 et z2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣
∣z1∣=∣(−4+2i)(−5+i)∣ ∣z1∣=∣−4+2i∣×∣−5+i∣ ∣z1∣=∣−4+2i∣×∣−5+i∣ ∣z1∣=(−4)2+22×(−5)2+12 ∣z1∣=20×26 ∣z1∣=4×5×26 ∣z1∣=2×5×26 ∣z1∣=2130 Ainsi :
∣z1∣=2130
2
z2=3+2i2−i
Correction
Pour tous complexes z1 et z2 avec z2=0, on a : ∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
∣z2∣=∣∣∣∣3+2i2−i∣∣∣∣ ∣z2∣=∣3+2i∣∣2−i∣ ∣z2∣=32+2222+(−1)2 ∣z2∣=135 ∣z2∣=13×135×13 Ainsi :
∣z2∣=1365
3
z3=(1−2i)5
Correction
Soit z1 un nombre complexe et n un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n
∣z3∣=∣∣∣(1−2i)5∣∣∣ ∣z3∣=∣(1−2i)∣5 ∣z3∣=(12+(−2)2)5 ∣z3∣=(5)5 Ainsi :
∣z3∣=255
Exercice 5
COMPETENCES:1°)Raisonner.2°)Calculer.
On donne les nombres complexes suivants : z1=3i et z2=−2+4i . Déterminer les modules suivants :
1
ZA=z1z2
Correction
Il n'est pas utile de déterminer la forme algébrique de ZA.
Pour tous complexes z1 et z2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣
Soit ZA=z1z2 avec z1=3i et z2=−2+4i ∣ZA∣=∣(3i)(−2+4i)∣ ∣ZA∣=∣3i∣×∣−2+4i∣ ∣ZA∣=32×((−2)2+42) ∣ZA∣=3×20 ∣ZA∣=320 ∣ZA∣=34×5 Ainsi :
∣ZA∣=65
2
ZB=z2z1
Correction
Pour tous complexes z1 et z2 avec z2=0, on a : ∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣=∣z2∣∣z1∣
ZB=z2z1 avec z1=3i et z2=−2+4i ∣ZB∣=∣∣∣∣−2+4i3i∣∣∣∣ ∣ZB∣=∣−2+4i∣∣3i∣ ∣ZB∣=(−2)2+4232 ∣ZB∣=203 Ainsi :
∣ZB∣=1035
3
ZC=(z1)3(z2)4
Correction
Soit z1 un nombre complexe et n un entier naturel non nul, on a : ∣(z1)n∣=∣z1∣n
Pour tous complexes z1 et z2, on a : ∣z1z2∣=∣z1∣×∣z2∣
Soit ZC=(z1)3(z2)4 avec z1=3i et z2=−2+4i ∣ZC∣=∣∣∣(z1)3×(z2)4∣∣∣ ∣ZC∣=∣∣∣(z1)3∣∣∣×∣∣∣(z2)4∣∣∣ ∣ZC∣=∣z1∣3×∣z2∣4 ∣ZC∣=(32)3×((−2)2+42)4 ∣ZC∣=33×(20)4 ∣ZC∣=27×400 Ainsi :
∣ZC∣=10800
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