Trouver une racine puis factoriser : degrés 3 et 4 - Exercice 4

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COMPETENCES‾  :  1°)  Chercher.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Chercher.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
La fonction Python ci-dessous reçoit la liste des coefficients d'un polynôme PP (du plus haut degré jusqu'au terme constant) et un nombre aa . Elle applique la méthode de Horner : elle renvoie la liste des coefficients du quotient QQ et le reste.
Question 1

Faire tourner à la main l'appel division([1, -1, -1, -2], 2) en écrivant la liste q après chaque passage dans la boucle. Que renvoie la fonction ?

Correction
Au départ : q = [1] (le premier coefficient).
1er passage\red{\text{1er passage}} : c = −1 et −1+2×1=1-1+2\times 1=1 donc q = [1, 1].
2e passage\red{\text{2e passage}} : c = −1 et −1+2×1=1-1+2\times 1=1 donc q = [1, 1, 1].
3e passage\red{\text{3e passage}} : c = −2 et −2+2×1=0-2+2\times 1=0 donc q = [1, 1, 1, 0].
La fonction renvoie q[:-1] (tous les termes sauf le dernier) et q[-1] (le dernier terme).
Ainsi :
la fonction renvoie ([1, 1, 1], 0)

Question 2

Interpréter ce résultat pour le polynôme P(z)=z3−z2−z−2P\left(z\right)=z^{3}-z^{2}-z-2 de l'exercice 1.

Correction
La liste [1, 1, 1] donne le quotient Q(z)=z2+z+1Q\left(z\right)=z^{2}+z+1 et le reste vaut 00 : c'est P(2)P\left(2\right) , calculé par la méthode de Horner P(2)=((1×2−1)×2−1)×2−2=0P\left(2\right)=\left(\left(1\times 2-1\right)\times 2-1\right)\times 2-2=0 .
Ainsi :
P(z)=(z−2)(z2+z+1)P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(z^{2}+z+1\right)

On retrouve la factorisation de l'exercice 1, sans identification.
Question 3

Quel appel permet de factoriser z3−z2+4z−4z^{3}-z^{2}+4z-4 par z−1z-1 ? Que renvoie-t-il ? Conclure.

Correction
L'appel est division([1, -1, 4, -4], 1).
q = [1] puis −1+1×1=0-1+1\times 1=0 , q = [1, 0] , puis 4+1×0=44+1\times 0=4 , q = [1, 0, 4] , puis −4+1×4=0-4+1\times 4=0 , q = [1, 0, 4, 0] .
La fonction renvoie ([1, 0, 4], 0) : le quotient est z2+4z^{2}+4 et le reste est nul.
Ainsi :
z3−z2+4z−4=(z−1)(z2+4)z^{3}-z^{2}+4z-4=\left(z-1\right)\left(z^{2}+4\right)

On retrouve la factorisation de l'exercice 2.

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