Trouver une racine puis factoriser : degrés 3 et 4 - Exercice 3

35 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}     \;\; 3°)  Repreˊsenter.{\color{red}3°)\;Représenter.}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
On considère le polynôme à coefficients réels P(z)=z4−2z3+2z2−10z+25P\left(z\right)=z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-10z+25 .
Question 1

Vérifier que 2+i2+i est une racine de PP .

Correction
On calcule d'abord les puissances de 2+i2+i :
(2+i)2=4+4i+i2=3+4i\left(2+i\right)^{2}=4+4i+i^{2}=3+4i
(2+i)3=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i2=2+11i\left(2+i\right)^{3}=\left(3+4i\right)\left(2+i\right)=6+3i+8i+4i^{2}=2+11i
(2+i)4=(3+4i)2=9+24i+16i2=−7+24i\left(2+i\right)^{4}=\left(3+4i\right)^{2}=9+24i+16i^{2}=-7+24i
P(2+i)=(−7+24i)−2(2+11i)+2(3+4i)−10(2+i)+25P\left(2+i\right)=\left(-7+24i\right)-2\left(2+11i\right)+2\left(3+4i\right)-10\left(2+i\right)+25 équivaut successivement à :
P(2+i)=−7+24i−4−22i+6+8i−20−10i+25P\left(2+i\right)=-7+24i-4-22i+6+8i-20-10i+25
P(2+i)=(−7−4+6−20+25)+i(24−22+8−10)P\left(2+i\right)=\left(-7-4+6-20+25\right)+i\left(24-22+8-10\right)
Ainsi :
P(2+i)=0P\left(2+i\right)=0

Question 2

Justifier que 2−i2-i est aussi une racine de PP .

Correction
  • Si PP est un polynôme à coefficients reˊels\red{\text{coefficients réels}} et si z0z_{0} est une racine de PP, alors z0‾\overline{z_{0}} est aussi une racine de PP : en effet P(z0‾)=P(z0)‾=0‾=0P\left(\overline{z_{0}}\right)=\overline{P\left(z_{0}\right)}=\overline{0}=0 .
    • Les coefficients de PP sont réels et 2+i2+i est une racine de PP : son conjugué 2+i‾=2−i\overline{2+i}=2-i est donc aussi une racine.
    Ainsi :
    P(2−i)=0P\left(2-i\right)=0

    Question 3

    Développer (z−(2+i))(z−(2−i))\left(z-\left(2+i\right)\right)\left(z-\left(2-i\right)\right) , puis déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout nombre complexe zz , P(z)=(z2−4z+5)(z2+az+b)P\left(z\right)=\left(z^{2}-4z+5\right)\left(z^{2}+az+b\right) .

    Correction
    (z−(2+i))(z−(2−i))=((z−2)−i)((z−2)+i)=(z−2)2−i2=z2−4z+4+1\left(z-\left(2+i\right)\right)\left(z-\left(2-i\right)\right)=\left(\left(z-2\right)-i\right)\left(\left(z-2\right)+i\right)=\left(z-2\right)^{2}-i^{2}=z^{2}-4z+4+1
    Donc :
    (z−(2+i))(z−(2−i))=z2−4z+5\left(z-\left(2+i\right)\right)\left(z-\left(2-i\right)\right)=z^{2}-4z+5

    (z2−4z+5)(z2+az+b)=z4+az3+bz2−4z3−4az2−4bz+5z2+5az+5b\left(z^{2}-4z+5\right)\left(z^{2}+az+b\right)=z^{4}+az^{3}+bz^{2}-4z^{3}-4az^{2}-4bz+5z^{2}+5az+5b
    (z2−4z+5)(z2+az+b)=z4+(a−4)z3+(b−4a+5)z2+(5a−4b)z+5b\left(z^{2}-4z+5\right)\left(z^{2}+az+b\right)=z^{4}+\left(a-4\right)z^{3}+\left(b-4a+5\right)z^{2}+\left(5a-4b\right)z+5b
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.

    • Par identification avec P(z)=z4−2z3+2z2−10z+25P\left(z\right)=z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-10z+25 :
    {a−4=−2b−4a+5=25a−4b=−105b=25\left\{\begin{array}{ccc} {a-4} & {=} & {-2} \\ {b-4a+5} & {=} & {2} \\ {5a-4b} & {=} & {-10} \\ {5b} & {=} & {25} \end{array}\right. donne a=2a=2 et b=5b=5 , et on vérifie : 5−8+5=25-8+5=2 et 10−20=−1010-20=-10 .
    Finalement :
    P(z)=(z2−4z+5)(z2+2z+5)P\left(z\right)=\left(z^{2}-4z+5\right)\left(z^{2}+2z+5\right)

    Question 4

    Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

    Correction
    P(z)=0P\left(z\right)=0 équivaut successivement à :
    (z2−4z+5)(z2+2z+5)=0\left(z^{2}-4z+5\right)\left(z^{2}+2z+5\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} les racines de z2−4z+5z^{2}-4z+5 sont 2+i2+i et 2−i2-i (questions 1 et 3).
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} z2+2z+5=0z^{2}+2z+5=0 . On utilise le discriminant Δ=22−4×1×5=−16\Delta =2^{2}-4\times 1\times 5=-16 .
    Comme Δ<0\Delta \lt 0 , il existe deux racines complexes conjuguées z1=−2−i162=−1−2iz_{1}=\dfrac{-2-i\sqrt{16}}{2}=-1-2i et z2=−2+i162=−1+2iz_{2}=\dfrac{-2+i\sqrt{16}}{2}=-1+2i .
    Les solutions de l'équation sont donc :
    S={2−i;2+i;−1−2i;−1+2i}S=\left\{2-i;2+i;-1-2i;-1+2i\right\}

    Question 5

    On note AA , BB , CC et DD les points d'affixes respectives 2+i2+i , 2−i2-i , −1+2i-1+2i et −1−2i-1-2i . Démontrer que ces quatre points sont sur un même cercle de centre OO dont on précisera le rayon.

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixe respective zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • OA=∣2+i∣=22+12=5OA=\left|2+i\right|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5} et OB=∣2−i∣=22+(−1)2=5OB=\left|2-i\right|=\sqrt{2^{2}+\left(-1\right)^{2}}=\sqrt{5}
    OC=∣−1+2i∣=(−1)2+22=5OC=\left|-1+2i\right|=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} et OD=∣−1−2i∣=5OD=\left|-1-2i\right|=\sqrt{5}
    Ainsi :
    AA , BB , CC et DD sont sur le cercle de centre OO et de rayon 5\sqrt{5}

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