Trouver une racine puis factoriser : degrés 3 et 4 - Exercice 2

20 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Chercher.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Chercher.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
On considère le polynôme P(z)=z3−z2+4z−4P\left(z\right)=z^{3}-z^{2}+4z-4 .
Question 1

Démontrer que PP admet deux racines imaginaires pures iyiy (yy réel non nul) que l'on déterminera.

Correction
Un complexe est nul\red{\text{est nul}} si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes les deux nulles.\red{\text{toutes les deux nulles.}}
Soit yy un réel non nul. P(iy)=0P\left(iy\right)=0 équivaut successivement à :
(iy)3−(iy)2+4iy−4=0\left(iy\right)^{3}-\left(iy\right)^{2}+4iy-4=0
−iy3+y2+4iy−4=0-iy^{3}+y^{2}+4iy-4=0 car i2=−1i^{2}=-1 et i3=−ii^{3}=-i
y2−4+i(4y−y3)=0y^{2}-4+i\left(4y-y^{3}\right)=0
{y2−4=0y(4−y2)=0\left\{\begin{array}{ccc} {y^{2}-4} & {=} & {0} \\ {y\left(4-y^{2}\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
La première équation donne y2=4y^{2}=4 , c'est-à-dire y=2y=2 ou y=−2y=-2 , et alors 4−y2=04-y^{2}=0 : la deuxième équation est aussi vérifiée.
Ainsi :
2i2i et −2i-2i sont des racines de PP

Question 2

En déduire une factorisation de P(z)P\left(z\right) .

Correction
Comme 2i2i et −2i-2i sont des racines, PP se factorise par (z−2i)(z+2i)=z2−(2i)2=z2+4\left(z-2i\right)\left(z+2i\right)=z^{2}-\left(2i\right)^{2}=z^{2}+4 .
On cherche donc des réels aa et bb tels que P(z)=(z2+4)(az+b)P\left(z\right)=\left(z^{2}+4\right)\left(az+b\right) .
(z2+4)(az+b)=az3+bz2+4az+4b\left(z^{2}+4\right)\left(az+b\right)=az^{3}+bz^{2}+4az+4b
Par identification avec z3−z2+4z−4z^{3}-z^{2}+4z-4 : a=1a=1 , b=−1b=-1 , et on vérifie que 4a=44a=4 et 4b=−44b=-4 .
Finalement :
P(z)=(z2+4)(z−1)P\left(z\right)=\left(z^{2}+4\right)\left(z-1\right)

Question 3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

Correction
P(z)=0P\left(z\right)=0 équivaut successivement à :
(z−2i)(z+2i)(z−1)=0\left(z-2i\right)\left(z+2i\right)\left(z-1\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
z=2iz=2i ou z=−2iz=-2i ou z=1z=1
Les solutions de l'équation sont donc :
S={1;−2i;2i}S=\left\{1;-2i;2i\right\}

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