Trouver une racine puis factoriser : degrés 3 et 4 - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Chercher.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Chercher.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
On considère le polynôme P(z)=z3−z2−z−2P\left(z\right)=z^{3}-z^{2}-z-2 .
Question 1

Calculer P(−2)P\left(-2\right) , P(−1)P\left(-1\right) , P(1)P\left(1\right) et P(2)P\left(2\right) . En déduire une racine évidente de PP .

Correction
  • Une racine\red{\text{racine}} d'un polynôme P(x)P\left(x\right) est une valeur AA telle que P(A)=0P\left(A\right)=0
    • P(−2)=(−2)3−(−2)2−(−2)−2=−8−4+2−2=−12P\left(-2\right)=\left(-2\right)^{3}-\left(-2\right)^{2}-\left(-2\right)-2=-8-4+2-2=-12
    P(−1)=(−1)3−(−1)2−(−1)−2=−1−1+1−2=−3P\left(-1\right)=\left(-1\right)^{3}-\left(-1\right)^{2}-\left(-1\right)-2=-1-1+1-2=-3
    P(1)=1−1−1−2=−3P\left(1\right)=1-1-1-2=-3
    P(2)=8−4−2−2=0P\left(2\right)=8-4-2-2=0
    Ainsi :
    22 est une racine de PP

    Question 2

    Déterminer les réels aa , bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz , P(z)=(z−2)(az2+bz+c)P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(az^{2}+bz+c\right) .

    Correction
      Soit PP un polynôme de degré nn et AA un nombre complexe tel que P(A)=0P\left(A\right)=0, c'est-à-dire que AA est une racine de PP.
    Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} PP sous la forme : P(z)=(z−A)Q(z)P\left(z\right)=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
    (z−2)(az2+bz+c)=az3+bz2+cz−2az2−2bz−2c\left(z-2\right)\left(az^{2}+bz+c\right)=az^{3}+bz^{2}+cz-2az^{2}-2bz-2c
    (z−2)(az2+bz+c)=az3+(b−2a)z2+(c−2b)z−2c\left(z-2\right)\left(az^{2}+bz+c\right)=az^{3}+\left(b-2a\right)z^{2}+\left(c-2b\right)z-2c
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • Par identification avec P(z)=z3−z2−z−2P\left(z\right)=z^{3}-z^{2}-z-2 , on obtient le système suivant :
    {a=1b−2a=−1c−2b=−1−2c=−2\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b-2a} & {=} & {-1} \\ {c-2b} & {=} & {-1} \\ {-2c} & {=} & {-2} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {a=1b=−1+2c=−1+2bc=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {-1+2} \\ {c} & {=} & {-1+2b} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    {a=1b=1c=1c=1\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {1} \end{array}\right.
    Finalement :
    P(z)=(z−2)(z2+z+1)P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(z^{2}+z+1\right)

    Question 3

    Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

    Correction
    P(z)=0P\left(z\right)=0 équivaut successivement à :
    (z−2)(z2+z+1)=0\left(z-2\right)\left(z^{2}+z+1\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} z−2=0z-2=0 ce qui donne z=2z=2
    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} z2+z+1=0z^{2}+z+1=0 . On utilise le discriminant Δ=12−4×1×1=−3\Delta =1^{2}-4\times 1\times 1=-3 .
    Comme Δ<0\Delta \lt 0 , il existe deux racines complexes conjuguées z1=−1−i32z_{1}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} et z2=−1+i32z_{2}=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} .
    Les solutions de l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 sont donc :
    S={2;−1−i32;−1+i32}S=\left\{2;\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2};\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right\}

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