Somme et produit - Exercice 2

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Soit PP un polynôme de degré 22 à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c où a≠0a\ne 0 .
Question 1

L'une des racines de PP est 3−2i3-2i . Indiquer l'autre racine de PP .

Correction
PP est un polynôme de degré 22 à coefficients réels . Il admet 3−2i3-2i comme racine complexe. Cela signifie donc que son Δ<0\Delta<0 . Ainsi les racines de ce polynôme PP doivent être conjuguées.
Il en résulte donc que l'autre racine de PP est alors 3+2i3+2i.
On notera pour la suite de l'exercice : z1=3−2iz_1=3-2i et z2=3+2iz_2=3+2i
Question 2

On indique également que P(1)=16P\left(1\right)=16. Déterminer l'expression du polynôme PP.

Correction
Nous savons que PP admet deux racines complexes conjuguées z1=3−2iz_1=3-2i et z2=3+2iz_2=3+2i. La forme factorisée de PP s'écrit alors :
P(z)=a(z−z1)(z−z2)P\left(z\right)=a\left(z-z_{1} \right)\left(z-z_{2} \right)
P(z)=a(z−(3−2i))(z−(3+2i))P\left(z\right)=a\left(z-\left(3-2i\right)\right)\left(z-\left(3+2i\right)\right)
P(z)=a(z−3+2i)(z−3−2i)P\left(z\right)=a\left(z-3+2i\right)\left(z-3-2i\right) . Nous allons maintenant développer l'expression.
P(z)=a(z2−3z−2iz−3z+9+6i+2iz−6i+4)P\left(z\right)=a\left(z^{2} -3z-2iz-3z+9+6i+2iz-6i+4\right)
P(z)=a(z2−6z+13)P\left(z\right)=a\left(z^{2} -6z+13\right)
Nous savons que P(1)=16P\left(1\right)=16 ainsi :
a(12−6×1+13)=16a\left(1^{2} -6\times 1+13\right)=16
a×8=16a\times 8=16
a=168a=\frac{16}{8}
Ainsi :
a=2a=2

Finalement, l'expression du polynôme PP s'écrit alors : P(z)=2(z2−6z+13)P\left(z\right)=2\left(z^{2} -6z+13\right)

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