Somme et produit - Exercice 2

$$P$$ est un polynôme de degré $$2$$ à coefficients réels . Il admet $$3-2i$$ comme racine complexe. Cela signifie donc que son $$\Delta<0$$ . Ainsi les racines de ce polynôme $$P$$ doivent être conjuguées.
Il en résulte donc que l'autre racine de $$P$$ est alors $$3+2i$$.
On notera pour la suite de l'exercice : $$z_1=3-2i$$ et $$z_2=3+2i$$

Nous savons que $$P$$ admet deux racines complexes conjuguées $$z_1=3-2i$$ et $$z_2=3+2i$$. La forme factorisée de $$P$$ s'écrit alors :
$$P\left(z\right)=a\left(z-z_{1} \right)\left(z-z_{2} \right)$$
$$P\left(z\right)=a\left(z-\left(3-2i\right)\right)\left(z-\left(3+2i\right)\right)$$
$$P\left(z\right)=a\left(z-3+2i\right)\left(z-3-2i\right)$$ . Nous allons maintenant développer l'expression.
$$P\left(z\right)=a\left(z^{2} -3z-2iz-3z+9+6i+2iz-6i+4\right)$$
$$P\left(z\right)=a\left(z^{2} -6z+13\right)$$
Nous savons que $$P\left(1\right)=16$$ ainsi :
$$a\left(1^{2} -6\times 1+13\right)=16$$
$$a\times 8=16$$
$$a=\frac{16}{8}$$
Ainsi :
Finalement, l'expression du polynôme $$P$$ s'écrit alors : $$P\left(z\right)=2\left(z^{2} -6z+13\right)$$