Somme et produit des racines : les formules de Viète - Exercice 3

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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Repreˊsenter.{\color{red}2°)\;Représenter.}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Soit mm un nombre réel. On considère l'équation (Em)\left(E_{m}\right) : z2+mz+4=0z^{2}+mz+4=0 .
Question 1

Pour quelles valeurs de mm l'équation (Em)\left(E_{m}\right) a-t-elle deux solutions complexes non réelles ?

Correction
Δ=m2−4×1×4=m2−16\Delta =m^{2}-4\times 1\times 4=m^{2}-16 .
Les solutions sont non réelles si et seulement si Δ<0\Delta \lt 0 , c'est-à-dire m2<16m^{2}\lt 16 .
Ainsi :
m∈]−4;4[m\in \left]-4;4\right[

Question 2

Dans ce cas, démontrer que les deux solutions z1z_{1} et z2z_{2} ont pour module 22 .

Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjuguées z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égaux à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Les solutions sont conjuguées : z2=z1‾z_{2}=\overline{z_{1}} . Leur produit vaut z1z2=41=4z_{1}z_{2}=\dfrac{4}{1}=4 .
    Or z1z1‾=∣z1∣2z_{1}\overline{z_{1}}=\left|z_{1}\right|^{2} , donc ∣z1∣2=4\left|z_{1}\right|^{2}=4 .
    Ainsi :
    ∣z1∣=∣z2∣=2\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=2

    Question 3

    Résoudre (E2)\left(E_{2}\right) . Où se trouvent les points images des solutions de (Em)\left(E_{m}\right) quand mm décrit ]−4;4[\left]-4;4\right[ ?

    Correction
    Pour m=2m=2 : Δ=4−16=−12\Delta =4-16=-12 , donc z=−2±i122z=\dfrac{-2\pm i\sqrt{12}}{2} , c'est-à-dire
    S={−1−i3;−1+i3}S=\left\{-1-i\sqrt{3};-1+i\sqrt{3}\right\}

    D'après la question 2, pour tout m∈]−4;4[m\in \left]-4;4\right[ , les points images des solutions sont sur le cercle de centre OO et de rayon 22 .
    Leur partie réelle vaut −m2-\dfrac{m}{2} , qui décrit ]−2;2[\left]-2;2\right[ : on obtient tout le cercle, sauf les points d'affixes 22 et −2-2 (qui correspondent à Δ=0\Delta =0).

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