Somme et produit des racines : les formules de Viète - Exercice 2

30 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
Soient z1z_{1} , z2z_{2} et z3z_{3} trois nombres complexes.
Question 1

Développer (z−z1)(z−z2)(z−z3)\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right) et l'écrire sous la forme z3−σ1z2+σ2z−σ3z^{3}-\sigma_{1}z^{2}+\sigma_{2}z-\sigma_{3} .

Correction
(z−z1)(z−z2)=z2−(z1+z2)z+z1z2\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)=z^{2}-\left(z_{1}+z_{2}\right)z+z_{1}z_{2}
(z−z1)(z−z2)(z−z3)=z3−(z1+z2)z2+z1z2z−z3z2+(z1+z2)z3z−z1z2z3\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right)=z^{3}-\left(z_{1}+z_{2}\right)z^{2}+z_{1}z_{2}z-z_{3}z^{2}+\left(z_{1}+z_{2}\right)z_{3}z-z_{1}z_{2}z_{3}
On regroupe les termes de même degré :
σ1=z1+z2+z3\sigma_{1}=z_{1}+z_{2}+z_{3} , σ2=z1z2+z1z3+z2z3\sigma_{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3} et σ3=z1z2z3\sigma_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}

Question 2

On admet que l'équation z3−6z2+13z−10=0z^{3}-6z^{2}+13z-10=0 a pour solutions z1=2z_{1}=2 , z2z_{2} et z3z_{3} . À l'aide de la question 1, déterminer z2+z3z_{2}+z_{3} et z2z3z_{2}z_{3} , puis z2z_{2} et z3z_{3} .

Correction
On a z3−6z2+13z−10=(z−z1)(z−z2)(z−z3)z^{3}-6z^{2}+13z-10=\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right) donc σ1=6\sigma_{1}=6 , σ2=13\sigma_{2}=13 et σ3=10\sigma_{3}=10 .
D’une part :\red{\text{D'une part :}} 2+z2+z3=62+z_{2}+z_{3}=6 donc z2+z3=4z_{2}+z_{3}=4 .
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} 2z2z3=102z_{2}z_{3}=10 donc z2z3=5z_{2}z_{3}=5 .
Donc z2z_{2} et z3z_{3} sont les racines de z2−4z+5z^{2}-4z+5 : Δ=16−20=−4\Delta =16-20=-4 et z=4±i42z=\dfrac{4\pm i\sqrt{4}}{2} .
Ainsi :
z2=2−iz_{2}=2-i et z3=2+iz_{3}=2+i

Question 3

Vérifier ce résultat avec σ2\sigma_{2} .

Correction
σ2=z1z2+z1z3+z2z3=z1(z2+z3)+z2z3=2×4+5\sigma_{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=z_{1}\left(z_{2}+z_{3}\right)+z_{2}z_{3}=2\times 4+5
Ainsi :
σ2=13\sigma_{2}=13

C'est bien le coefficient de zz dans l'équation : le résultat est confirmé.

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