Somme et produit des racines : les formules de Viète - Exercice 1

25 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Soit P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c un polynôme du second degré (a≠0a\ne 0) de racines z1z_{1} et z2z_{2} (éventuellement égales), de sorte que, pour tout nombre complexe zz , P(z)=a(z−z1)(z−z2)P\left(z\right)=a\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) .
Question 1

En développant, démontrer que z1+z2=−baz_{1}+z_{2}=-\dfrac{b}{a} et z1z2=caz_{1}z_{2}=\dfrac{c}{a} .

Correction
Soient a,ba,b et cc trois réels avec a≠0a\ne0 et z∈Cz\in \mathbb{C}. On admet que le polynôme az2+bz+caz^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjuguées z1z_{1} et z2z_{2}.
La forme factorisée de az2+bz+caz^{2}+bz+c est alors a(z−z1)(z−z2)a\left(z-z_{1} \right)\left(z-z_{2} \right)
a(z−z1)(z−z2)=a(z2−z2z−z1z+z1z2)=az2−a(z1+z2)z+az1z2a\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)=a\left(z^{2}-z_{2}z-z_{1}z+z_{1}z_{2}\right)=az^{2}-a\left(z_{1}+z_{2}\right)z+az_{1}z_{2}
Par identification avec az2+bz+caz^{2}+bz+c : b=−a(z1+z2)b=-a\left(z_{1}+z_{2}\right) et c=az1z2c=az_{1}z_{2} .
Comme a≠0a\ne 0 :
z1+z2=−baz_{1}+z_{2}=-\dfrac{b}{a} et z1z2=caz_{1}z_{2}=\dfrac{c}{a}

Question 2

Trouver deux nombres complexes dont la somme vaut 44 et le produit vaut 1313 .

Correction
D'après la question 1, deux nombres de somme 44 et de produit 1313 sont les racines du polynôme z2−4z+13z^{2}-4z+13 (ici a=1a=1 , −ba=4-\dfrac{b}{a}=4 et ca=13\dfrac{c}{a}=13).
Δ=(−4)2−4×1×13=−36\Delta =\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 13=-36 , il existe donc deux racines complexes conjuguées :
z1=4−i362=2−3iz_{1}=\dfrac{4-i\sqrt{36}}{2}=2-3i et z2=4+i362=2+3iz_{2}=\dfrac{4+i\sqrt{36}}{2}=2+3i
Les deux nombres cherchés sont :
2−3i2-3i et 2+3i2+3i

Vérification : (2−3i)+(2+3i)=4\left(2-3i\right)+\left(2+3i\right)=4 et (2−3i)(2+3i)=4+9=13\left(2-3i\right)\left(2+3i\right)=4+9=13 .
Question 3

Soient z1z_{1} et z2z_{2} les solutions de z2−2z+5=0z^{2}-2z+5=0 . Sans les calculer, déterminer z12+z22z_{1}^{2}+z_{2}^{2} et 1z1+1z2\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}} .

Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjuguées z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égaux à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Ici z1+z2=−−21=2z_{1}+z_{2}=-\dfrac{-2}{1}=2 et z1z2=51=5z_{1}z_{2}=\dfrac{5}{1}=5 .
    D’une part :\red{\text{D'une part :}} z12+z22=(z1+z2)2−2z1z2=22−2×5z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-2z_{1}z_{2}=2^{2}-2\times 5 d'où
    z12+z22=−6z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=-6

    D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} 1z1+1z2=z1+z2z1z2\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}=\dfrac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}z_{2}} d'où
    1z1+1z2=25\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}=\dfrac{2}{5}

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