Nombres complexes : équations polynomiales

Somme et produit - Exercice 1

12 min
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Dans chaque cas, z1z_{1} est une racine complexe du polynôme P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c . Indiquer l'autre racine de PP et en déduire bb et cc .
Question 1

z1=1−iz_{1}=1-i

Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjugués z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c et z1=1−iz_{1}=1-i est une racine de PP. Il en résulte que z2=z1‾=1+iz_{2}=\overline{z_{1} }=1+i est aussi racine de PP .
    Comme P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c alors a=1a=1 .
    Il vient alors que :
    {z1+z2=1−i+1+iz1×z2=(1−i)(1+i)\left\{\begin{array}{ccc} {z_{1} +z_{2} } & {=} & {1-i+1+i} \\ {z_{1} \times z_{2} } & {=} & {\left(1-i\right)\left(1+i\right)} \end{array}\right.
    {z1+z2=2z1×z2=12+12\left\{\begin{array}{ccc} {z_{1} +z_{2} } & {=} & {2} \\ {z_{1} \times z_{2} } & {=} & {1^{2}+1^{2}} \end{array}\right.
    {z1+z2=2z1×z2=2\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}z_{1} +z_{2}} } & {=} & {{\color{red}2}} \\ {{\color{blue}z_{1} \times z_{2} }} & {=} & {{\color{blue}2}} \end{array}\right.
    Nous savons que : S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} . Ainsi :
    {−ba=2ca=2\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}-\frac{b}{a}} } & {=} & {{\color{red}2}} \\ {{\color{blue}\frac{c}{a}} } & {=} & {{\color{blue}2}} \end{array}\right.
    {−b1=2c1=2\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{b}{1} } & {=} & {2} \\ {\frac{c}{1} } & {=} & {2} \end{array}\right.
    D'où : {b=−2c=2\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-2} \\ {c} & {=} & {2} \end{array}\right.
    Finalement :
    P(z)=z2−2z+2P\left(z\right)=z^{2}-2z+2
    Question 2

    z1=2+4iz_{1}=2+4i

    Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjugués z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c et z1=2+4iz_{1}=2+4i est une racine de PP. Il en résulte que z2=z1‾=2−4iz_{2}=\overline{z_{1} }=2-4i est aussi racine de PP .
    Comme P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c alors a=1a=1 .
    Il vient alors que :
    {z1+z2=2+4i+2−4iz1×z2=(2+4i)(2−4i)\left\{\begin{array}{ccc} {z_{1} +z_{2} } & {=} & {2+4i+2-4i} \\ {z_{1} \times z_{2} } & {=} & {\left(2+4i\right)\left(2-4i\right)} \end{array}\right.
    {z1+z2=4z1×z2=22+42\left\{\begin{array}{ccc} {z_{1} +z_{2} } & {=} & {4} \\ {z_{1} \times z_{2} } & {=} & {2^{2}+4^{2}} \end{array}\right.
    {z1+z2=4z1×z2=20\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}z_{1} +z_{2}} } & {=} & {{\color{red}4}} \\ {{\color{blue}z_{1} \times z_{2} }} & {=} & {{\color{blue}20}} \end{array}\right.
    Nous savons que : S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} . Ainsi :
    {−ba=4ca=20\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}-\frac{b}{a}} } & {=} & {{\color{red}4}} \\ {{\color{blue}\frac{c}{a}} } & {=} & {{\color{blue}20}} \end{array}\right.
    {−b1=4c1=20\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{b}{1} } & {=} & {4} \\ {\frac{c}{1} } & {=} & {20} \end{array}\right.
    D'où : {b=−4c=20\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-4} \\ {c} & {=} & {20} \end{array}\right.
    Finalement :
    P(z)=z2−4z+20P\left(z\right)=z^{2}-4z+20
    Question 3

    z1=3(3−5i)z_{1} =\sqrt{3} \left(3-5i\right)

    Correction
  • Si un polynôme P(z)=az2+bz+cP\left(z\right)=az^{2}+bz+c admet deux racines complexes conjugués z1z_{1} et z2z_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à :
    S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} .
    • Nous avons : P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c et z1=3(3−5i)z_{1}=\sqrt{3} \left(3-5i\right) est une racine de PP. Il en résulte que z2=z1‾=3(3+5i)z_{2}=\overline{z_{1} }=\sqrt{3} \left(3+5i\right) est aussi racine de PP .
    Comme P(z)=z2+bz+cP\left(z\right)=z^{2}+bz+c alors a=1a=1 .
    Il vient alors que :
    {z1+z2=3(3−5i)+3(3+5i)z1×z2=(3(3−5i))(3(3+5i))\left\{\begin{array}{ccc} {z_{1} +z_{2} } & {=} & {\sqrt{3} \left(3-5i\right)+\sqrt{3} \left(3+5i\right)} \\ {z_{1} \times z_{2} } & {=} & {\left(\sqrt{3} \left(3-5i\right)\right)\left(\sqrt{3} \left(3+5i\right)\right)} \end{array}\right.
    {z1+z2=63z1×z2=(33)2+(53)2\left\{\begin{array}{ccc} {z_{1} +z_{2} } & {=} & {6\sqrt{3}} \\ {z_{1} \times z_{2} } & {=} & {\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+\left(5\sqrt{3}\right)^{2}} \end{array}\right.
    {z1+z2=63z1×z2=102\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}z_{1} +z_{2}} } & {=} & {{\color{red}6\sqrt{3}}} \\ {{\color{blue}z_{1} \times z_{2} }} & {=} & {{\color{blue}102}} \end{array}\right.
    Nous savons que : S=z1+z2=−ba{\color{red}S=z_{1}+z_{2}=-\frac{b}{a}} et P=z1×z2=ca{\color{blue}P=z_{1}\times z_{2}=\frac{c}{a}} . Ainsi :
    {−ba=63ca=102\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{red}-\frac{b}{a}} } & {=} & {{\color{red}6\sqrt{3}}} \\ {{\color{blue}\frac{c}{a}} } & {=} & {{\color{blue}102}} \end{array}\right.
    {−b1=63c1=102\left\{\begin{array}{ccc} {-\frac{b}{1} } & {=} & {6\sqrt{3}} \\ {\frac{c}{1} } & {=} & {102} \end{array}\right.
    D'où : {b=−63c=102\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {-6\sqrt{3}} \\ {c} & {=} & {102} \end{array}\right.
    Finalement :
    P(z)=z2−63z+102P\left(z\right)=z^{2}-6\sqrt{3}z+102