Résoudre une équation de degré $$3$$ à coefficients réels dont une racine est connue - Exercice 2

$$\left(-2\right)^{3} +4\times \left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)-6=-8+4\times 4-2-6$$
$$\left(-2\right)^{3} +4\times \left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)-6=-8+16-2-6$$
$$\left(-2\right)^{3} +4\times \left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)-6=0$$
Donc $$\left(-2\right)$$ est bien une racine de l’équation $$\left(E\right)$$ .

$$z^{3} +4z^{2} +z-6$$ est un polynôme de degré $$3$$ et $$\left(-2\right)$$ est une racine . On peut alors écrire que :
$$z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z-\left(-2\right)\right)Q\left(z\right)$$ où $$Q$$ est un polynôme $$\blue{\text{de degré au plus }}$$ $$\blue{3-1}$$
$$z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)Q\left(z\right)$$ où $$Q\left(z\right)=az^{2}+bz+c$$
Ainsi :
$$z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)\left(az^{2}+bz+c\right)$$
$$z^{3} +4z^{2} +z-6=az^{3} +bz^{2} +cz+2az^{2} +2bz+2c$$
$$z^{3} +4z^{2} +z-6=az^{3} +\left(b+2a\right)z^{2} +\left(c+2b\right)+2c$$
Il faut que :
$${\color{blue}1}z^{3} +{\color{red}4}z^{2} +{\color{purple}1}z-6={\color{blue}a}z^{3} +\left({\color{red}b+2a}\right)z^{2} +\left({\color{purple}c+2b}\right)+2c$$
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}1}} \\ {{\color{red}b+2a}} & {=} & {{\color{red}4}} \\ {{\color{purple}c+2b}} & {=} & {{\color{purple}1}} \\ {2c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b+2\times 1} & {=} & {4} \\ {c+2b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {\frac{-6}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b+2} & {=} & {4} \\ {c+2b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {4-2} \\ {-3+2b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {2b} & {=} & {1+3} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {2b} & {=} & {4} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {\frac{4}{2} } \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.$$
Finalement, une forme factorisée de $$\left(E\right)$$ est alors : $$z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)\left(z^{2}+2z-3\right)$$

Nous souhaitons résoudre l'équation $$z^{3} +4z^{2} +z-6=0$$ . Or, d'après la question précédente : $$z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)\left(z+2\right)\left(z^{2}+2z-3\right)$$
Ainsi, il nous faut résoudre :
$$\left(z+2\right)\left(z^{2}+2z-3\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$ $$z+2=0\Leftrightarrow z=-2$$
$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$ $$z^{2}+2z-3=0$$
On utilise ici le discriminant $$\Delta =2^{2} -4\times 1\times \left(-3\right)=16$$
$$z_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-2-\sqrt{16} }{2} =-3$$
$$z_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-2+\sqrt{16} }{2} =1$$
Les solutions de l’équation $$\left(E\right)$$ dans $$\mathbb{C}$$ sont $$S=\left\{-3;-2;1\right\}$$