Nombres complexes : équations polynomiales

Résoudre une équation de degré 33 à coefficients réels dont une racine est connue - Exercice 2

12 min
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Question 1
On considère l'équation (E)\left(E\right) : z3+4z2+z−6=0z^{3} +4z^{2} +z-6=0

Vérifier que −2-2 est une racine de l’équation (E)\left(E\right) .

Correction
  • Une racine\red{\text{racine}} d'un polynôme P(x)P\left(x\right) est une valeur AA telle que P(A)=0P\left(A\right)=0
    • (−2)3+4×(−2)2+(−2)−6=−8+4×4−2−6\left(-2\right)^{3} +4\times \left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)-6=-8+4\times 4-2-6
    (−2)3+4×(−2)2+(−2)−6=−8+16−2−6\left(-2\right)^{3} +4\times \left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)-6=-8+16-2-6
    (−2)3+4×(−2)2+(−2)−6=0\left(-2\right)^{3} +4\times \left(-2\right)^{2} +\left(-2\right)-6=0
    Donc (−2)\left(-2\right) est bien une racine de l’équation (E)\left(E\right) .
    Question 2

    En déduire une factorisation de (E)\left(E\right) .

    Correction
      Soit PP un polynôme de degré nn et AA un nombre complexe tel que P(A)=0P\left(A\right)=0, c'est à dire que AA esst une racine de PP.
    Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} PP sous la forme : P(z)=(z−A)Q(z)P\left(z\right)=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
    z3+4z2+z−6z^{3} +4z^{2} +z-6 est un polynôme de degré 33 et (−2)\left(-2\right) est une racine . On peut alors écrire que :
    z3+4z2+z−6=(z−(−2))Q(z)z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z-\left(-2\right)\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} 3−1\blue{3-1}
    z3+4z2+z−6=(z+2)Q(z)z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)Q\left(z\right) où Q(z)=az2+bz+cQ\left(z\right)=az^{2}+bz+c
    Ainsi :
    z3+4z2+z−6=(z+2)(az2+bz+c)z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)\left(az^{2}+bz+c\right)
    z3+4z2+z−6=az3+bz2+cz+2az2+2bz+2cz^{3} +4z^{2} +z-6=az^{3} +bz^{2} +cz+2az^{2} +2bz+2c
    z3+4z2+z−6=az3+(b+2a)z2+(c+2b)+2cz^{3} +4z^{2} +z-6=az^{3} +\left(b+2a\right)z^{2} +\left(c+2b\right)+2c
    Il faut que :
    1z3+4z2+1z−6=az3+(b+2a)z2+(c+2b)+2c{\color{blue}1}z^{3} +{\color{red}4}z^{2} +{\color{purple}1}z-6={\color{blue}a}z^{3} +\left({\color{red}b+2a}\right)z^{2} +\left({\color{purple}c+2b}\right)+2c
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • Par identification, on obtient le système suivant :
    {a=1b+2a=4c+2b=12c=−6\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}1}} \\ {{\color{red}b+2a}} & {=} & {{\color{red}4}} \\ {{\color{purple}c+2b}} & {=} & {{\color{purple}1}} \\ {2c} & {=} & {-6} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {a=1b+2×1=4c+2b=1c=−62\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b+2\times 1} & {=} & {4} \\ {c+2b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {\frac{-6}{2} } \end{array}\right.
    {a=1b+2=4c+2b=1c=−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b+2} & {=} & {4} \\ {c+2b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.
    {a=1b=4−2−3+2b=1c=−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {4-2} \\ {-3+2b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.
    {a=1b=22b=1+3c=−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {2b} & {=} & {1+3} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.
    {a=1b=22b=4c=−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {2b} & {=} & {4} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.
    {a=1b=2b=42c=−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {\frac{4}{2} } \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.
    {a=1b=2b=2c=−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {-3} \end{array}\right.
    Finalement, une forme factorisée de (E)\left(E\right) est alors : z3+4z2+z−6=(z+2)(z2+2z−3)z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)\left(z^{2}+2z-3\right)
    Question 3

    Déterminer toutes les solutions de l’équation (E)\left(E\right) dans C\mathbb{C} .

    Correction
    Nous souhaitons résoudre l'équation z3+4z2+z−6=0z^{3} +4z^{2} +z-6=0 . Or, d'après la question précédente : z3+4z2+z−6=(z+2)(z+2)(z2+2z−3)z^{3} +4z^{2} +z-6=\left(z+2\right)\left(z+2\right)\left(z^{2}+2z-3\right)
    Ainsi, il nous faut résoudre :
    (z+2)(z2+2z−3)=0\left(z+2\right)\left(z^{2}+2z-3\right)=0 . Il s'agit d'une équation produit nul.
    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z+2=0⇔z=−2z+2=0\Leftrightarrow z=-2
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2+2z−3=0z^{2}+2z-3=0
    On utilise ici le discriminant Δ=22−4×1×(−3)=16\Delta =2^{2} -4\times 1\times \left(-3\right)=16
    z1=−b−Δ2a=−2−162=−3z_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-2-\sqrt{16} }{2} =-3
    z2=−b+Δ2a=−2+162=1z_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-2+\sqrt{16} }{2} =1
    Les solutions de l’équation (E)\left(E\right) dans C\mathbb{C} sont S={−3;−2;1}S=\left\{-3;-2;1\right\}