Résoudre les équations du second degré à coefficients réels - Exercice 5

Calculons $$P\left(-2i\right)$$ et nous devons obtenir que $$P\left(-2i\right)=0$$
$$P\left(-2i\right)=3\left(-2i\right)^{3} +\left(1+6i\right)\left(-2i\right)^{2} +\left(16+2i\right)\left(-2i\right)+32i$$
$$P\left(-2i\right)=3\left(8i\right)+\left(1+6i\right)\left(-4\right)+\left(16+2i\right)\left(-2i\right)+32i$$
$$P\left(-2i\right)=24i-4-24i-32i+4+32i$$
Ainsi $$P\left(-2i\right)=0$$
Il en résulte que $$-2i$$ est bien une racine de $$P$$.

$$P\left(z\right)=\left(z+2i\right)\left(3z^{2} +z+16\right)$$
On va développer et s'assurer que l'on obtienne $$3z^{3} +\left(1+6i\right)z^{2} +\left(16+2i\right)z+32$$
$$P\left(z\right)=3z^{3} +z^{2} +16z+6iz^{2} +2iz+32i$$
$$P\left(z\right)=3z^{3} +\left(1+6i\right)z^{2} +\left(16+2i\right)z+32i$$

On utilise la forme factorisée de $$P\left(z\right)$$.
Ainsi :
$$P\left(z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(z+2i\right)\left(3z^{2} +z+16\right)=0$$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
$$z+2i=0$$ ou $$3z^{2} +z+16=0$$
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$ $$z+2i=0\Leftrightarrow z=-2i$$
$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$ $$3z^{2} +z+16=0$$,
On utilise ici le discriminant $$\Delta =1^{2} -4\times 3\times 16=-191$$
$$z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a}$$ d'où $$z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{191} }{6}$$
$$z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}$$ d'où $$z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{191} }{6}$$
Les solutions sont $$S=\left\{\frac{-1-i\sqrt{191} }{6} ;\frac{-1+i\sqrt{191} }{6} ;-2i\right\}$$