Résoudre les équations du second degré à coefficients réels - Exercice 4

On développe $$\left(z+1\right)\left(az^{2} +bz+c\right)$$, on a :
$$\left(z+1\right)\left(az^{2} +bz+c\right)=az^{3} +bz^{2} +cz+az^{2} +bz+c$$
$$\left(z+1\right)\left(az^{2} +bz+c\right)=az^{3} +z^{2} \left(b+a\right)+z\left(c+b\right)+c$$
Il faut que :
$$P\left(z\right)={\color{blue}a}z^{3} +z^{2} \left({\color{red}b+a}\right)+z\left({\color{purple}c+b}\right)+c$$ doit être égal à $$P\left(z\right)={\color{blue}2}z^{3} +{\color{red}3}z^{2} +{\color{purple}3}z+2$$.
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}a}} & {=} & {{\color{blue}2}} \\ {{\color{red}b+a}} & {=} & {{\color{red}3}} \\ {{\color{purple}c+b}} & {=} & {{\color{purple}3}} \\ {c} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Il en résulte que : $$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {c} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Il vient alors que $$P\left(z\right)=\left(z+1\right)\left(2z^{2} +z+2\right)$$

Il s'agit d'une équation produit nul.
$$P\left(z\right)=0$$
$$\left(z+1\right)\left(2z^{2} +z+2\right)=0$$
$$z+1=0$$ ou $$2z^{2} +z+2=0$$
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$ $$z+1=0\Leftrightarrow z=-1$$
$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$ $$2z^{2} +z+2=0$$
on utilise ici le discriminant $$\Delta =1^{2} -4\times 2\times 2=-15$$
$$z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-1-i\sqrt{15} }{4}$$ d'où $$z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{15} }{4}$$
$$z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-1+i\sqrt{15} }{4}$$ d'où $$z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{15} }{4}$$
Les solutions sont $$S=\left\{\frac{-1+i\sqrt{15} }{4} ;\frac{-1-i\sqrt{15} }{4} ;-1\right\}$$