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Résoudre les équations du second degré à coefficients réels - Exercice 3

7 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
Pour tout complexe zz, on considère le polynôme P(z)=z3+z2−2z−8P\left(z\right)=z^{3} +z^{2} -2z-8.
Question 1

Vérifier que P(z)=(z−2)(z2+3z+4)P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(z^{2} +3z+4\right)

Correction
Nous allons développer l'expression.
P(z)=(z−2)(z2+3z+4)P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(z^{2} +3z+4\right) équivaut successivement à :
P(z)=z3+3z2+4z−2z2−6z−8P\left(z\right)=z^{3} +3z^{2} +4z-2z^{2} -6z-8
Ainsi :
P(z)=z3+z2−2z−8P\left(z\right)=z^{3} +z^{2} -2z-8
Question 2

Résoudre alors dans C\mathbb{C} , l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0

Correction
P(z)=0P\left(z\right)=0, il s'agit d'une équation produit nul.
(z−2)(z2+3z+4)=0\left(z-2\right)\left(z^{2} +3z+4\right)=0
z−2=0 ou z2+3z+4=0z-2=0{\text{ ou }}z^{2} +3z+4=0
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z−2=0⇔z=2z-2=0\Leftrightarrow z=2
Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2+3z+4=0z^{2} +3z+4=0
On utilise ici le discriminant Δ=32−4×4=−7\Delta =3^{2} -4\times 4=-7
z1=−b−i−Δ2a=−3−i72z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-3-i\sqrt{7} }{2} et z2=−b+i−Δ2a=−3+i72z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-3+i\sqrt{7} }{2}
Les solutions sont S={−3−i72;−3+i72;2}S=\left\{\frac{-3-i\sqrt{7} }{2} ;\frac{-3+i\sqrt{7} }{2} ;2\right\}

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