Résoudre les équations du second degré à coefficients réels - Exercice 3

Nous allons développer l'expression.
$$P\left(z\right)=\left(z-2\right)\left(z^{2} +3z+4\right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(z\right)=z^{3} +3z^{2} +4z-2z^{2} -6z-8$$
Ainsi :

$$P\left(z\right)=0$$, il s'agit d'une équation produit nul.
$$\left(z-2\right)\left(z^{2} +3z+4\right)=0$$
$$z-2=0{\text{ ou }}z^{2} +3z+4=0$$
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$ $$z-2=0\Leftrightarrow z=2$$
$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$ $$z^{2} +3z+4=0$$
On utilise ici le discriminant $$\Delta =3^{2} -4\times 4=-7$$
$$z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-3-i\sqrt{7} }{2}$$ et $$z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-3+i\sqrt{7} }{2}$$
Les solutions sont $$S=\left\{\frac{-3-i\sqrt{7} }{2} ;\frac{-3+i\sqrt{7} }{2} ;2\right\}$$