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Résoudre les équations du second degré à coefficients réels - Exercice 2

15 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
Résoudre dans C\mathbb{C} les équations du second degré ci-dessous.
Question 1

(z2−2z+5)(z2−4z+3)=0\left(z^{2} -2z+5\right)\left(z^{2} -4z+3\right)=0

Correction
C'est une équation produit nul donc z2−2z+5=0z^{2} -2z+5=0 ou z2−4z+3=0z^{2} -4z+3=0
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z2−2z+5=0z^{2} -2z+5=0
Δ=−16\Delta =-16, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
z1=2−i162z_{1} =\frac{2-i\sqrt{16} }{2} d'où
z1=1−2iz_{1} =1-2i

z2=2+i162z_{2} =\frac{2+i\sqrt{16} }{2} d'où
z2=1+2iz_{2} =1+2i

Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2−4z+3=0z^{2} -4z+3=0
Δ=4\Delta =4, il existe donc deux racines réelles distinctes notées z3z_{3} et z4z_{4} tels que z3=−b−Δ2az_{3} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z4=−b+Δ2az_{4} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
z3=1z_{3} =1
et
z4=3z_{4} =3

Donc S={1−2i;1+2i;1;3}S=\left\{1-2i;1+2i;1;3\right\}
Question 2

z3+z2+5z=0z^{3} +z^{2} +5z=0

Correction
On va commencer par factoriser par zz.
Ainsi z3+z2+5z=0⇔z(z2+z+5)=0z^{3} +z^{2} +5z=0\Leftrightarrow z\left(z^{2} +z+5\right)=0
C'est une équation produit nul donc z=0z=0 ou z2+z+5=0z^{2} +z+5=0
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z=0z=0 (équation évidente).
Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2+z+5=0z^{2} +z+5=0
Δ=−19\Delta =-19, il existe donc deux racines complexes conjuguées notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−i−Δ2az_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} et z2=−b+i−Δ2az_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a}
z1=−1−i192z_{1} =\frac{-1-i\sqrt{19} }{2}
et
z2=−1+i192z_{2} =\frac{-1+i\sqrt{19} }{2}

Donc S={0;−1−i192;−1+i192}S=\left\{0;\frac{-1-i\sqrt{19} }{2} ;\frac{-1+i\sqrt{19} }{2} \right\}
Question 3

−sin⁡2(θ)z2−2cos⁡(θ)z+1=0-\sin ^{2} \left(\theta \right)z^{2} -2\cos \left(\theta \right)z+1=0

Correction
Il s'agit d'une équation du second degré . Nous avons donc : a=−sin⁡2(θ)a=-\sin ^{2} \left(\theta \right) ; b=−2cos⁡(θ)b=-2\cos \left(\theta \right) et c=1c=1 .
Ainsi :
Δ=(−2cos⁡(θ))2−4×(−sin⁡2(θ))\Delta =\left(-2\cos \left(\theta \right)\right)^{2} -4\times \left(-\sin ^{2} \left(\theta \right)\right)
Δ=4cos⁡2(θ)+4sin⁡2(θ)\Delta =4\cos ^{2} \left(\theta \right)+4\sin ^{2} \left(\theta \right)
Δ=4(cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ))\Delta =4\left(\cos ^{2} \left(\theta \right)+\sin ^{2} \left(\theta \right)\right)
  • cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ)=1\cos ^{2} \left(\theta \right)+\sin ^{2} \left(\theta \right)=1
    • D'où :
    Δ=4\Delta =4

    Il existe donc deux racines réelles distinctes notées z1z_{1} et z2z_{2} tels que z1=−b−Δ2az_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} et z2=−b+Δ2az_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}
    z1=2cos⁡(θ)−2−2sin⁡2(θ)z_{1} =\frac{2\cos \left(\theta \right)-2}{-2\sin ^{2} \left(\theta \right)}     \;\; et     \;\; z2=2cos⁡(θ)+2−2sin⁡2(θ)z_{2} =\frac{2\cos \left(\theta \right)+2}{-2\sin ^{2} \left(\theta \right)}
    z1=cos⁡(θ)−1−sin⁡2(θ)z_{1} =\frac{\cos \left(\theta \right)-1}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)}
    et
    z2=cos⁡(θ)+1−sin⁡2(θ)z_{2} =\frac{\cos \left(\theta \right)+1}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)}

    Donc S={cos⁡(θ)−1−sin⁡2(θ);cos⁡(θ)+1−sin⁡2(θ)}S=\left\{\frac{\cos \left(\theta \right)-1}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)} ;\frac{\cos \left(\theta \right)+1}{-\sin ^{2} \left(\theta \right)} \right\}

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