Nombres complexes : équations polynomiales

Résoudre les équations de la forme zn−anz^{n}-a^{n} - Exercice 1

10 min
25
Nous voulons résoudre l'équation (E)\left(E\right) : z3−8z^{3} -8 .
Question 1

Factoriser z3−8z^{3} -8 par z−2z-2 .

Correction
On remarque que z3−8=z3−23z^{3} -8=z^{3} -2^{3}.
Nous voulons donc factoriser z3−23z^{3} -2^{3} par z−2z-2 .
    Soient AA un nombre complexe et nn un entier naturel non nul .
Alors pour tout nombre complexe zz, on peut factoriser\red{\text{factoriser}} zn−Anz^{n} -A^{n} sous la forme : zn−An=(z−A)Q(z)z^{n} -A^{n}=\left(z-A\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} n−1\blue{n-1} .
z3−23z^{3} -2^{3} est un polynôme de degré 33 et . On peut alors écrire que :
z3−23=(z−2)Q(z)z^{3} -2^{3}=\left(z-2\right)Q\left(z\right) où QQ est un polynôme de degreˊ au plus \blue{\text{de degré au plus }} 3−1\blue{3-1}
z3−23=(z−2)Q(z)z^{3} -2^{3}=\left(z-2\right)Q\left(z\right) où Q(z)=az2+bz+cQ\left(z\right)=az^{2}+bz+c
Ainsi :
z3−23=(z−2)(az2+bz+c)z^{3} -2^{3}=\left(z-2\right)\left(az^{2}+bz+c\right)
z3−23=az3+bz2+cz−2az2−2bz−2cz^{3} -2^{3} =az^{3} +bz^{2} +cz-2az^{2} -2bz-2c
z3−23=az3+(b−2a)z2+(c−2b)z−2cz^{3} -2^{3} =az^{3} +\left(b-2a\right)z^{2} +\left(c-2b\right)z-2c
Il faut que :
z3−23=z3+(b−2a)z2+(c−2b)−2cz^{3} {\color{red}-2^{3}}=z^{3} +\left(b-2a\right)z^{2} +\left(c-2b\right){\color{red}-2c}
  • Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
    • Par identification, on obtient le système suivant :
    {b−2a=0c−2b=0−2c=−23\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {-2c} & {=} & {-2^{3} } \end{array}\right.
    {b−2a=0c−2b=0−2c=−8\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {-2c} & {=} & {-8} \end{array}\right.
    {b−2a=0c−2b=0c=−8−2\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {\frac{-8}{-2} } \end{array}\right.
    {b−2a=0c−2b=0c=4\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {b−2a=04−2b=0c=4\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {4-2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {b−2a=0−2b=−4c=4\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {-2b} & {=} & {-4} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {b−2a=0b=−4−2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {\frac{-4}{-2} } \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {b−2a=0b=2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {2−2a=0b=2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {2-2a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {−2a=−2b=2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {-2a} & {=} & {-2} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {a=−2−2b=2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{-2}{-2} } \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    {a=1b=2c=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.
    Finalement, la forme factorisée de z3−8z^{3} -8 est : (z−2)(z2+2z+4)\left(z-2\right)\left(z^{2}+2z+4\right)
    Question 2

    Déterminer toutes les solutions de l’équation (E)\left(E\right) dans C\mathbb{C} .

    Correction
    z3−8=0z^{3} -8=0 équivaut successivement à :
    (z−2)(z2+2z+4)=0\left(z-2\right)\left(z^{2}+2z+4\right)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} z−2=0⇔z=2z-2=0\Leftrightarrow z=2
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} z2+2z+4=0z^{2}+2z+4=0
    On utilise ici le discriminant Δ=22−4×1×4=−12\Delta =2^{2} -4\times 1\times 4=-12
    z1=−b−i−Δ2a=−2−i122=−1−i3z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-2-i\sqrt{12} }{2} =-1-i\sqrt{3}
    z2=−b+i−Δ2a=−2+i122=−1+i3z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-2+i\sqrt{12} }{2} =-1+i\sqrt{3}
    Les solutions de l’équation (E)\left(E\right) dans C\mathbb{C} sont S={−1−i3;−1+i3;2}S=\left\{-1-i\sqrt{3};-1+i\sqrt{3};2\right\}