Soient A un nombre complexe et n un entier naturel non nul .
Alors pour tout nombre complexe z, on peut factoriserzn−An sous la forme : zn−An=(z−A)Q(z) où Q est un polynôme de degreˊ au plus n−1 .
z3−23 est un polynôme de degré 3 et . On peut alors écrire que : z3−23=(z−2)Q(z) où Q est un polynôme de degreˊ au plus 3−1 z3−23=(z−2)Q(z) où Q(z)=az2+bz+c Ainsi : z3−23=(z−2)(az2+bz+c) z3−23=az3+bz2+cz−2az2−2bz−2c z3−23=az3+(b−2a)z2+(c−2b)z−2c Il faut que : z3−23=z3+(b−2a)z2+(c−2b)−2c
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.
Par identification, on obtient le système suivant : ⎩⎨⎧b−2ac−2b−2c===00−23 ⎩⎨⎧b−2ac−2b−2c===00−8 ⎩⎨⎧b−2ac−2bc===00−2−8 ⎩⎨⎧b−2ac−2bc===004 ⎩⎨⎧b−2a4−2bc===004 ⎩⎨⎧b−2a−2bc===0−44 ⎩⎨⎧b−2abc===0−2−44 ⎩⎨⎧b−2abc===024 ⎩⎨⎧2−2abc===024 ⎩⎨⎧−2abc===−224 ⎩⎨⎧abc===−2−224 ⎩⎨⎧abc===124 Finalement, la forme factorisée de z3−8 est : (z−2)(z2+2z+4)
2
Déterminer toutes les solutions de l’équation (E) dans C .
Correction
z3−8=0 équivaut successivement à : (z−2)(z2+2z+4)=0 Il s'agit d'une équation produit nul. Calculons d’une part :z−2=0⇔z=2 Calculons d’autre part :z2+2z+4=0 On utilise ici le discriminant Δ=22−4×1×4=−12 z1=2a−b−i−Δ=2−2−i12=−1−i3 z2=2a−b+i−Δ=2−2+i12=−1+i3 Les solutions de l’équation (E) dans C sont S={−1−i3;−1+i3;2}
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