Nombres complexes : équations polynomiales
Résoudre les équations de la forme zn−an
Exercice 1
Nous voulons résoudre l'équation (E) : z3−8
1
Factoriser z3−8 par z−2 .
Correction
On remarque que z3−8=z3−23.
Nous voulons donc factoriser z3−23 par z−2 .
z3−23 est un polynôme de degré 3 et . On peut alors écrire que :
z3−23=(z−2)Q(z) où Q est un polynôme de degreˊ au plus 3−1
z3−23=(z−2)Q(z) où Q(z)=az2+bz+c
Ainsi :
z3−23=(z−2)(az2+bz+c)
z3−23=az3+bz2+cz−2az2−2bz−2c
z3−23=az3+(b−2a)z2+(c−2b)z−2c
Il faut que :
z3−23=z3+(b−2a)z2+(c−2b)−2c
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux. Par identification, on obtient le système suivant :
⎩⎨⎧b−2ac−2b−2c===00−23
⎩⎨⎧b−2ac−2b−2c===00−8
⎩⎨⎧b−2ac−2bc===00−2−8
⎩⎨⎧b−2ac−2bc===004
⎩⎨⎧b−2a4−2bc===004
⎩⎨⎧b−2a−2bc===0−44
⎩⎨⎧b−2abc===0−2−44
⎩⎨⎧b−2abc===024
⎩⎨⎧2−2abc===024
⎩⎨⎧−2abc===−224
⎩⎨⎧abc===−2−224
⎩⎨⎧abc===124
Finalement, la forme factorisée de z3−8 est : (z−2)(z2+2z+4)
Nous voulons donc factoriser z3−23 par z−2 .
- Soient A un nombre complexe et n un entier naturel non nul .
z3−23=(z−2)Q(z) où Q est un polynôme de degreˊ au plus 3−1
z3−23=(z−2)Q(z) où Q(z)=az2+bz+c
Ainsi :
z3−23=(z−2)(az2+bz+c)
z3−23=az3+bz2+cz−2az2−2bz−2c
z3−23=az3+(b−2a)z2+(c−2b)z−2c
Il faut que :
z3−23=z3+(b−2a)z2+(c−2b)−2c
⎩⎨⎧b−2ac−2b−2c===00−23
⎩⎨⎧b−2ac−2b−2c===00−8
⎩⎨⎧b−2ac−2bc===00−2−8
⎩⎨⎧b−2ac−2bc===004
⎩⎨⎧b−2a4−2bc===004
⎩⎨⎧b−2a−2bc===0−44
⎩⎨⎧b−2abc===0−2−44
⎩⎨⎧b−2abc===024
⎩⎨⎧2−2abc===024
⎩⎨⎧−2abc===−224
⎩⎨⎧abc===−2−224
⎩⎨⎧abc===124
Finalement, la forme factorisée de z3−8 est : (z−2)(z2+2z+4)
2
Déterminer toutes les solutions de l’équation (E) dans C .
Correction
z3−8=0 équivaut successivement à :
(z−2)(z2+2z+4)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
Calculons d’une part : z−2=0⇔z=2
Calculons d’autre part : z2+2z+4=0
On utilise ici le discriminant Δ=22−4×1×4=−12
z1=2a−b−i−Δ=2−2−i12=−1−i3
z2=2a−b+i−Δ=2−2+i12=−1+i3
Les solutions de l’équation (E) dans C sont S={−1−i3;−1+i3;2}
(z−2)(z2+2z+4)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
Calculons d’une part : z−2=0⇔z=2
Calculons d’autre part : z2+2z+4=0
On utilise ici le discriminant Δ=22−4×1×4=−12
z1=2a−b−i−Δ=2−2−i12=−1−i3
z2=2a−b+i−Δ=2−2+i12=−1+i3
Les solutions de l’équation (E) dans C sont S={−1−i3;−1+i3;2}
Connecte-toi pour accéder à tes fiches !
Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte.
Si tu n'en as pas, inscris-toi et essaie gratuitement pendant 24h.
J'ai 20 en maths – et ses partenaires – utilisent des cookies aux fins de fournir leurs services. En utilisant le site, vous consentez à cette utilisation selon les modalités décrites dans nos Conditions générales d'utilisation et de vente.